第一轮复习数学：9.2直线与平面平行

9.2 直线与平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.点击双基1.设有平面、和直线m、n，则m的一个充分条件是A.且m B.=n且mnC.mn且nD.且m答案：D2.（2004年北京，3）设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若m，n，则mn 若，m，则m 若m，n，则mn 若，则A.B.C.D.解析：显然正确.中m与n可能相交或异面.考虑长方体的顶点，与可以相交.答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设=l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记=b，=c，则ab且ac，bc.又b，=l，bl.al.答案：C4.（文）设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，当S在、之间时，SC=_，当S不在、之间时，SC=_.解析：ACBD，SACSBD，SC=16，SC=272.答案：16 272（理）设D是线段BC上的点，BC平面，从平面外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_.解析：解法类同于上题.答案：5.在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE.证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，MN平面BCE.证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NG.MGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE.又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE.又面MGNG=G，平面MNG平面BCE.又MN平面MNG.MN平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.证法一：分别过E、F作EMAB于点M，FNBC于点N，连结MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC.EMBB1，FNBB1.EMFN.又B1E=C1F，EM=FN.故四边形MNFE是平行四边形.EFMN.又MN在平面ABCD中，EF平面ABCD.证法二：过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则=.B1E=C1F，B1A=C1B，=.FGB1C1BC.又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD.而EF在平面EFG中，EF平面ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.【例3】 已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.ADBC，ENAN=BNND.又BNND=PMMA，ENAN=PMMA.MNPE.又PE在平面PBC内，MN平面PBC.（2）解：由（1）知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO=.由（1）知，BEAD=BNND=58，BE=.在PEB中，PBE=60，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.闯关训练夯实基础1.两条直线a、b满足ab，b，则a与平面的关系是A.a B.a与相交C.a与不相交D.a答案：C2.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线aa，bb，则ab=A.a、b可确定一个平面，记为.如果a，b，则a，b.由于平面可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3.（2004年全国，16）已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.答案：4.已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB，AB=2，AC、BC分别和平面成45和30角，则AB到平面的距离为_.解析：分别过A、B向平面引垂线AA、BB，垂足分别为A、B.设AA=BB=x，则AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，6x2=（2）2，x=2.答案：25.如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于E，且BE= a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.解：在面PCD内作EGPD于G，连结AG.PA平面ABCD，CDAD，CDPD.CDEG.又ABCD，EGAB.若有EF平面PAD，则EFAG，四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.CE=a，PBC为直角三角形，BC2=CECPCP=a，=.故得AFFB=21时，EF平面PAD.6.如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN平面PBC.分析：要证直线MN平面PBC，只需证明MN平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC.证法一：过N作NRDC交PC于点R，连结RB，依题意得=NR=MB.NRDCAB，四边形MNRB是平行四边形.MNRB.又RB平面PBC，直线MN平面PBC.证法二：过N作NQAD交PA于点Q，连结QM，=，QMPB.又NQADBC，平面MQN平面PBC.直线MN平面PBC.证法三：过N作NRDC交PC于点R，连结RB，依题意有=，=，=+ + =.MNRB.又RB平面PBC，直线MN平面PBC.培养能力7.已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，（1）求证：D1B1l；（2）若AB=a，求l与D1间的距离.（1）证明：D1B1BD，D1B1平面ABCD.又平面ABCD平面AD1B1=l，D1B1l.（2）解：D1D平面ABCD，在平面ABCD内，由D作DGl于G，连结D1G，则D1Gl，D1G的长即等于点D1与l间的距离. lD1B1BD，DAG=45.DG=a，D1G=a.探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2），求V1V2的值.（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.E为A1B的中点，EFB1B.又C1MB1B，EFMC1.四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）解：作B1HA1N于H，连结BH.BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1为二面角BA1NB1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N，EMA1N.又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在RtA1D1N中，A1N= a，sinA1ND1=.在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a= a.在RtBB1H中，tanBHB1=.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）S=2aa=a2，S=aa= a2，棱台MNC1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=2a（a2+a2）= a3，V2=2a2aaa3= a3.=.思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.教师下载中心教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.拓展题例【例1】 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点.证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQ.b，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ.又O为AB的中点，Q为AN的中点. a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQ.P为MN的中点.评述：本题重点考查直线与平面平行的性质.【例2】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离.（1）证明：E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面AB