第一轮复习数学：13.1导数的概念与运算

*第十三章 导数网络体系总览考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量y；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0）处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.3.求导公式(c=0，(xn=nxn1（nN*）.4.运算法则如果f（x）、g（x）有导数，那么f（x）g（x）=（x）g（x），cf（x）=c（x）.点击双基1.若函数f（x）=2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于 A.4 B.4xC.4+2x D.4+2x2解析：y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.答案：C2.对任意x，有（x）=4x3，f（1）=1，则此函数为A.f（x）=x42 B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3 D.f（x）=x4解析：筛选法.答案：A3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.81解析：s=6t2，s|t=3=54.答案：C4.若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_.解析：y=2x1，y|x=2=5.又P（2，6+c），=5.c=4.答案：45.设函数f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是两两不等的常数），则+=_.解析：f（x）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）xabc，（x）=3x22（a+b+c）x+ab+bc+ca.又（a）=（ab）（ac），同理（b）=（ba）（bc），（c）=（ca）（cb）.代入原式中得值为0.答案：0典例剖析【例1】 （1）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为A.0， B.0，C.0，|D.0，|（2）（2004年全国，3）曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为A.y=3x4 B.y=3x+2C.y=4x+3 D.y=4x5（3）（2004年重庆，15）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_.（4）（2004年湖南，13）过点P（1，2）且与曲线y=3x24x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）过P（x0，f（x0）的切线的倾斜角的取值范围是0，P到曲线y=f（x）对称轴x=的距离d=x0（）=x0+.又（x0）=2ax0+b0，1，x0，.d=x0+0，.（2）点（1，1）在曲线上，y=3x26x，切线斜率为31261=3.所求切线方程为y+1=3（x1）.（3）P（2，4）在y=x3+上，又y=x2，斜率k=22=4.所求直线方程为y4=4（x2），4xy4=0.（4）y=6x4，切线斜率为614=2.所求直线方程为y2=2（x+1），即2xy+4=0.答案：（1）B （2）B （3）4xy4=0 （4）2xy+4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x54，此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，54），切线与坐标轴围成的三角形面积是S=254=54.评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C：y=x33x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x00），求直线l的方程及切点坐标.剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：直线过原点，则k=（x01）.由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x033x02+2x0，=x023x0+2.又y=3x26x+2，在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=（x0）=3x026x0+2.x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0.解得x0=（x00）.这时，y0=，k=.因此，直线l的方程为y=x，切点坐标是（，）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y=a（xx1）（xx2）（a0，x10 B. （x0）0C. （x0）=0D. （x0）不存在解析：由题知（x0）=3.答案：B3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若（1）=4，则a的值等于_.解析： （x）=3ax2+6x，从而使3a6=4，a=.答案： 4.曲线y=2x2+1在P（1，3）处的切线方程是_.解析：点P（1，3）在曲线上，k=（1）=4，y3=4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=05.已知曲线y=x21与y=3x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解：在x=x0处曲线y=x21的切线斜率为2x0，曲线y=3x3的切线斜率为3x02.2x0（3x02）=1，x0=.答案： 6.点P在曲线y=x3x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.解：tan=3x21，tan1，+）.当tan0，+）时，0，）；当tan1，0）时，）.0，），）.培养能力7.曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）kAB=2，y=2（x4）.所求割线AB所在直线方程为2x+y8=0.（2）=2x+4，2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0.8.有点难度哟！若直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3a求导数是=3x2，3x02=3.x0=1.（1）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=31+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）当x=1时，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.综上可知，实数a的值为3或1.9.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：=2x+b，k=y|x=2=4+b=2，b=2.又当x=2时，y=22+（2）2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究创新10.有点难度哟！曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，x=1时，切线最小斜率为3，此时，y=（1）3+3（1）2+6（1）10=14.切线方程为y+14=3（x+1），即3xy11=0.思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.教师下载中心教学点睛1.（x0）=的几种等价形式：（x0）=2.曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0）处的切线方程为yf（x0）=（x0）（xx0）.3.若质点的运动规律为s=s（t），则质点在t=t0时的瞬时速度为v=（t0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公