高一数学角的概念推广与弧制北师大知识精讲

高一数学角的概念推广与弧度制北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：角的概念推广与弧度制二、学习目标1、了解周期现象与周期性的概念；2、了解任意角的概念与弧度制，能进行弧度与角度的互化三、知识要点1、周期现象依次不断地重复出现的现象叫做周期现象。2、周期函数如果存在不为0的实数T，使得对定义域内的任意x，函数y=f（x）都满足：f（x+T）=f（x），我们就把这种函数称为周期函数，T称为这个函数的周期。一般地，若T是函数的周期，则kT也是其周期，其中k0，kZ3、角的概念推广正角、负角与零度角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，不作任何旋转的角为零度角，又称零角。4、终边相同的角在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，同一位置的终边可以视作以不同的方式旋转而得到，从而这些角终边相同。与角终边相同的角可以表示为：=+k360，kZ5、象限角在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。若为第I象限角，则：（k360，90+k360），kZ；若为第II象限角，则：（90+k360，180+k360），kZ；若为第III象限角，则：（180+k360，270+k360），kZ；若为第IV象限角，则：（90+k360，k360），kZ.6、象限界角在直角坐标系内讨论角的时候，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边落在坐标轴上的时候称为象限界角（不属于象限角）。若终边落在x轴的正半轴上，则：=k360，kZ；若终边落在x轴的负半轴上，则：=180+k360，kZ；若终边落在y轴的正半轴上，则：=90+k360，kZ；若终边落在y轴的负半轴上，则：=90+k360，kZ。7、弧度制规定：在单位圆中长为1个单位长度的弧所对应的圆心角是1弧度的角，其单位是弧度（rad）。这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下，角的单位常省去不写，这样，就在角度的大小与实数之间建立了一种对应关系。8、角度与弧度的互化：360=2rad9、弧度制下的弧长与扇形面积公式弧长公式：扇形面积公式：四、考点解析与典型例题考点一 周期性与周期现象例1. 设函数f（x）是以4为周期的函数，当x0，4）时，f（x）=2x+1，比较的大小。【分析】由于4和5.5均不在0，4内，故需通过周期性找出0，4内与其函数值相等的值后再进行比较。【解】由周期性可知，f（4）=f（4+4）=f（0）=1，f（5.5）=f（4+5.5）=f（1.5）=4，f（3）=7，故f（4）f（5.5）f（3）。考点二 角的概念的推广例2. 从2点15分到3点，时钟的时针和分针各转了多少度？【分析】沿顺时针方向旋转形成的角为负角。【解】从2点15分到3点共45分钟，故时针转过的角度为：分针转过的角度为：考点三 终边相同的角例3. 下列各对角中终边相同的角是（ ）A. （） B. 和C. 和 D. 【分析】判断两个角的终边是否相同，只需判断两角之差是否是2的整数倍。【解】C。考点四 已知所在区间（或象限），判断半角所在区间（或象限）例4. 已知为第II象限角，判断所在象限【分析】先写出的范围，再求所在范围；或者按如下步骤判断：将每个象限二等分，从x轴正半轴上方的第一个区域开始，顺次标上1，2，3，4；1，2，3，4。则标记2的区域即为所在区域。若判断所在区域，则需将每个象限N等分，按如上步骤，标记为2的区域即为所在区域。此处标记的2是所在象限对应的数字。【解】法一：为第II象限角，则，故，则在第I象限或第III象限。法二：如图，可知在第I象限或第III象限。考点五 弧度制下的有关计算例5. 圆弧的长度等于截其圆的内接正三角形的边长，求其圆心角的弧度数。【解】五、数学思想方法本讲学习中一要正确理解旋转方向与角的正负之间的关系，二要理解弧度制下，角的大小与实数间建立了一一对应的关系，这为研究三角函数奠定了重要基础，三要注意数形结合的方法在研究角与三角函数问题中的重要作用。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1、若3，则角的终边在A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限2、若是第四象限角，则一定在A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限3、所在象限为A. 第I象限 B. 第II象限 C. 第III象限 D. 第IV象限4、下列终边相同的是（）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5、角的集合与 之间的关系为A. B. C. A=B D. 不确定6、半径为2，圆心角为1的扇形面积为A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、填空题7、6730化成弧度为 ；8、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .三、解答题9. 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。（1）； （2）； （3）. 10、已知集合22，B44，求AB.11、现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.12、在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.（1）120；（2）640；（3）95012.【试题答案】一、选择题题号123456答案CCBBCB二、填空题7、；8、I；72；三、解答题9、解：（1），所以，此角为第一象限角；（2），所以此角为第一象限角；（3），所以此角为第四象限角. 10、AB4或011、12、解：（1）120=240+（1）360