河北省武邑中学2019届高三数学上学期第二次调研考试试题文（含解析） (1)

河北省武邑中学2019届高三上学期第二次调研考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设是虚数单位，则(A. iB. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【详解】解：是虚数单位，则，故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题2.以下判断正确的是（ ）A. 函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B. 命题“”的否定是“”C. “”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题【答案】C【解析】对于A，函数y=fx为R上可导函数，则fx0=0是x0为函数fx极值点的必要不充分条件，如fx=x3,fx=3x2，满足f0=0，但0不是函数的极值点，故A错误；对于B，命题“x0R,x02+x01B，则sinAsinB，” 的逆命题为“若sinAsinB，则AB”，由正弦定理可知，在ABC中，abABsinAsinB，逆命题为真命题，故D错误，故选C.3.下列函数中，在(0,+)上单调递增，并且是偶函数的是（ ）A. y=x2B. y=x3C. y=lg|x|D. y=2x【答案】C【解析】试题分析：四个函数中，是偶函数的有A，C，又y=x2在(0,+)内单调递增，故选C考点：函数的单调性与奇偶性.4.已知函数f(x)=2x+log2x，g(x)=2-x-log12x，h(x)=2xlog2x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为A. abcB. cbaC. cabD. bac【答案】A【解析】函数fx=2x+log2x，gx=2-x-log12x，hx=2xlog2x-1的零点分别为a,b,cf(a)=2a+log2a=0，g(b)=2blog12b=0，h(c)=2clog2c1=0即2a=log2a，(12)b=log12b，log2c=(12)c根据函数图象可得，a0，0b1ab0,y=xa 在0,+递增，排除A,B选项，y=ax+1a递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即a0时，不合题意；若a0)，令f(x)0，解得：00时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题11.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1x2，不等式f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立，则不等式f(x+3)0可知，函数f(x)在R上单调递增，结合图象可知f(x+3)0，得x+31，则x4，故选D考点：函数的性质.12.函数f(x)=f(x+1)(x0)2x-1(x0)，若方程f(x)=-x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为A. (-,0)B. 0,1)C. (-,1)D. 0,+)【答案】C【解析】【分析】由题知f(x)为分段函数，当x0时，由f(x)=f(x+1)可知f(x)为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根即f(x)与y=-x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f(x)的图象与函数y=-x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围【详解】解：函数f(x)=f(x+1)(x0)2x-1(x0)的图象如图所示，作出直线l：y=a-x，向左平移直线l观察可得函数y=f(x)的图象与函数y=-x+a的图象有两个交点，即方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根，即有a1，故选：C【点睛】本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题p：xR，log2x0，则p是_【答案】x0R，log2x00【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，即将条件中“任意”改“存在”，结论中“”改“”即可【详解】解：命题p：xR，log2x0，则p是：x0R，log2x00，故答案为：x0R，log2x00,b0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为_.【答案】3+1；【解析】设点P在双曲线右支上,由题意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30,得|PF2|=c,|PF1|=3c,根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,(3-1)c=2a,e=ca=231=3+1.【此处有视频，请去附件查看】15.函数y=5x-14x+2，x-3,-1的最小值为_【答案】85【解析】【分析】可令4x+2=t，由-3x-1，可得-10t-2，即有y=54-72t在-10,-2递增，计算可得所求最小值【详解】解：函数y=5x-14x+2，令4x+2=t，由-3x-1，可得-10t-2，则x=t-24，可得y=5(t-24)-1t=54-72t在-10,-2递增，可得函数y的最小值为54+720=85故答案为：85【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力和变形能力，属于基础题16.若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn=5nn+5，则a10b9+b12+a11b8+b13=_【答案】4【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出【详解】解：由等差数列的性质可得：a10b9+b12+a11b8+b13=a10b1+b20+a11b1+b20=a1+a20b1+b20=20a1+a20220b1+b202=S20T20=52020+5=4故答案为：4【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组25,30)，第2组30,35),第3组35,40),第4组40,45),第5组45,50)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数a,b的值；区间25,30)30,35)35,40)40,45)45,50)人数5050a150b（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组抽取的员工的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.【答案】（1）a=200，b=50（2）1人，1人，4人. （3）1415【解析】(I)由题意可知a=0.085500=200,b=0.025500=50.(II)根据各层在总体当中的占比与在样本中的占比相等，求出年龄在第1,2,3组的人数. 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为650300=1， 第2组的人数为650300=1，第3组的人数为6200300=4， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人6分(III) 设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1,C2,C3,C4，则从六位同学中抽两位同学有15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有1种可能.所以至少有1人年龄在第3组的概率为1115=1415.设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1,C2,C3,C4，则从六位同学中抽两位同学有：(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4), (B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4), (C1,C2),(C1,C3), (C1,C4),(C2,C3),(C2,C4), (C3,C4),共种可能 10分其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能， 11分所以至少有1人年龄在第3组的概率为1115=1415 12分19.一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45+的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值【答案】所需时间2小时，sin=5314【解析】【分析】由图A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB=14x，BC=10x，ACB=120从而在ABC中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求角的正弦值【详解】解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB=14x，BC=10x，ACB=120(14x)2=122+(10x)2-240xcos120，x=2，AB=28，BC=20，sin=BCsin120AB=20sin12028=5314所以所需时间2小时，sin=5314.【点睛】本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题20.已知定点N(5,0)，动点P是圆M：(x+5)2+y2=36上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q(1)求|QM|+|QN|的值，并求动点Q的轨迹C的方程；(2)若圆x2+y2=4的切线l与曲线C相交于A，B两点，求AOB面积的最大值【答案】（1）x29+y24=1；（2）3【解析】【分析】1推导出QM+QN=6为定值根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆且2a=6，即a=3，c=5，b=2，由此能求出点Q的轨迹C的方程2设切线方程为x=ty+m，由直线与圆相切，得m2=41+t2.由x=ty+mx29+y24=1，得：4t2+9y2+8tmy+4m236=0，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出AOB的面积最大值【详解】解：1由已知条件得QN=QP，又QM+QP=6，QM+QN=6为定值根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆且2a=6，即a=3，c=5，b=2，点Q的轨迹C的方程为：x29+y24=12直线l不可能与x轴平行，则可设切线方程为x=ty+m，由直线与圆相切，得|m|1+t2=2，m2=41+t2.设Ax1,y1，Bx2,y2，由x=ty+mx29+y24=1，消去x得：4t2+9y2+8tmy+4m236=0，=(8tm)244t2+94m236=1444t2m2+9=1445，y1+y2=8tm4t2+9，y1y2=4m2364t2+9AB=1+t2y1y2=1+t2(y1+y2)24y1y2=444t2m2+14494t2+9=1+t21254t2+9=12541+t2+51+t212545=3，当且仅当41+t2=51+t2，即t2=14时等号成立此时m=5，|AB|max=3，又SAOB=122AB=AB，m=5，t=12时，AOB的面积最大，最大值为3【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查圆、椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21.设f(x)=xln xax2+(2a1)x，aR.（）令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；（）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】（）当a0时，函数g(x)单调递增区间为(0,+)，当a0时，函数g(x)单调递增区间为（0,12a），单调递减区间为（12a,+）； （）a12【解析】试题分析：（）先求出g(x)，然后讨论当a0时，当a0时的两种情况即得.（）分以下情况讨论：当a0时，当0a12时，综合即得.试题解析：（）由f(x)=lnx2ax+2a,可得g(x)=lnx2ax+2a,x(0,+)，则g(x)=1x2a=12axx，当a0时，x(0,+)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x（0,12a）时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x（12a,+）时，g(x)0时，函数g(x)单调递增区间为（0,12a），单调递减区间为（12a,+）.（）由（）知，f(1)=0.当a0时，f(x)0，f(x)单调递减.所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.当0a1，由()知f(x)在（0,12a）内单调递增，可得当当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内单调递减，在（1,12a）内单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.当a=12时，即12a=1时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+)内单调递减，所以当x(0,+)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.当a12时，即012a0，f(x)单调递增,当x(1,+)时，f(x)12.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为=