函数的单调性

函数的单调性一、函数单调性的判断方法除了用差分法(也称为定义法)来判断函数的单调性以外，还有几种常用的方法1 .直接法直接方法是利用我们所熟知的正比函数、线性函数、反比函数的单调性来判断直接函数的单调性，写出那些单调的区间，记住以下几个函数的单调性(1)正比函数：当时，函数在定义域中是增加函数，当时函数在定义域中是减法函数(2)反比函数：当时，函数的单调减少区间在不存在单调增加区间时，函数的单调增加区间不存在单调增加区间(3)一次函数：当时，函数在定义域中是增加函数，当时函数在定义域中是减法函数(4)二次函数：当时，函数的图像开口向上，单调减少区间为单调增加区间，当时函数的图像开口向下，单调增加区间为单调减少区间注意：在定义域中，图像如右图所示增加2 .图像方法绘制函数的图像，根据该图像的上升或下降倾向判断函数的单调性3 .演算性质法(1)函数如果与当时具有相同的单调性，当时具有逆单调性的函数的单调性相反，则与函数的单调性相同(2)函数总是为正(或负)时，具有逆单调性，如果函数是增加函数，则在区间内是减少函数(3)如果具有与上述相同的单调性，则函数在定义域中是上述递减函数，由于是上述递减函数，因此函数是上述递减函数，是上述递减函数如果(4)的单调性相同，单调性与其他单调性相同由于函数单调递减的区间为，函数的单调递减区间为灬如果(5)的单调性相反，单调性与相同。 因为和的单调性相同，所以单调性与二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数的单调性是一个重要的问题类型，其解法采用差分法在实例1中，已知以上定义的函数是可选的并且是恒定的然后，判断了当时的上述单调性如果我们和解.所以函数上的单调递减二、复合函数单调性的判定方法要求复合函数的单调性：(1)求函数的定义域(2)明确构成复合函数的简单函数(所谓简单函数，是指熟知其单调性的函数) :(3)确定简单函数的单调性(4)如果这两个函数是相同的增减(单调性相同)，则作为增加函数的这两个函数增减时(单调性不同)，将减少函数简记为“同增减”下表所示为：函数复合函数单调性增长增长增长扣分增长扣分增长扣分扣分扣分扣分增长例2求定义域中函数的单调区间解：从解析表达式得到的，即函数的定义域是.如果是.指令.则是.增函数，上是减函数，上是增函数，函数的增区间是减区间.三、单调的应用1 .用函数的单调性比较大小可以使用函数的单调性和参数的大小来比较两个函数值的大小。 也就是说，已知函数在具有定义域的区间中是增加函数，对区间内的任意的2个值进行定义减法函数也有类似的性质例3已知的函数是向上减法的函数，试着比较了和的大小解：与都在区间内另外，在区间上是减法函数注意：要解决此类问题，必须首先确定函数参数是否在给定区间内在实施例4中，定义上述增加函数，知道求出的值的范围.解是上面定义的增加函数，因为可以得到不等式群所以求出2 .用函数的单调性求最大值利用单调性求出最大值或值域时，请注意以下结论(1)在定义域中是增加函数，此时，取得最小值，取得最大值如图2所示.(2)是在定义域中减法函数，此时取得最大值，此时取得最小值如图3所示.(3)已知函数如果上是单调增加(减法)函数，上是单调减少(增加)函数，则有时取得最大(小)值，有时取得最小(大)值，如下面的图4、5所示.例5求函数的最大值解：指令，即从问题中得到的函数的定义域是.向上增加，向上减少，但向上增加，向上增加的函数，此时最大值为4。注意：研究函数的最高值时，首先求定义域，判断其单调性3 .利用单调性求参数值例：教科书第40页例34 .解包括“”在内的不等式假设作为自变量可取范围的已知函数是在定义域内的某个区间内从函数的某个区间内的单调性和函数值的大小减去能够求出增加函数的已知函数是在定义域内的某个区间内减去的函数如果是，则是增(减)函数定义的反应实施例6已知函数是上述减法函数，求出实数的可取范围.解：函数是上面的减法函数是.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数的定义域属于该函数的定义域之中的整个定义域例1函数的定义域确定函数的定义域解：函数的定义域，有意义的条件是也就是说，定义域是注：此类主题缩写为“对应规则相同，括号中的值范围相同”。示例2已知定义域是用于获得函数的定义域解题分析：函数和中的不是相同的量，如果设定，则其可取范围是函数的定义域，即“对应法则相同，括号内的可取范围相同”。解：的定义域是函数的定义域是二、求函数值域的一般方法1 .公式法：适用于初中学习的初级函数、二次函数、反比函数以及今后学习的基本初级函数，形式(且不受公式约束)的范围如下例3求函数的值域解：函数，的值域为2 .影像法：适用于画影像的函数。 因为这样的图像如右图所示，所以值域为3 .不等式的性质法(包括分配方法、分离常数法、有界性法)适合于解析式仅包含“一个”或通过变形转换为仅出现“一个”的函数，由此得到作为其他例子所以嘛例4求函数的值域解：由、得.如果结合反比函数图像立即是的价格范围是4 .换元法：适用于不合理公式中包含自变量的信函例5求函数的值域解：函数的定义域是.令，如果是当组合二次函数的图像时，原始函数的值域如下注意：求解此类主题必须注意函数的定义域。 在利用变换法求出函数值域时，必须注意新变量的可取范围。 如果忽视它，就容易导致错误5 .判别方程法：适用于形式函数.例6求出函数的值域.解：由得，当时方程式没有解时，