高一数学集合的概念与基本运算教案

一、教学内容：集合的概念与基本运算二、学习目标：1、通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号；2、理解集合的表示法，用集合语言对事物进行准确的分类，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言表示数学内容的简洁性和准确性；3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力；4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义；5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集；培养从具体到抽象的思维方法；6、理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；7、能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。三、知识要点（一）集合的含义与表示1、集合（1）一般地，指定的某些对象的全体称为集合；（2）集合常用大写字母A、B、M、N标记；（3）一些常用的数集及其记法：自然数集：N；正整数集：N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R；2、元素（1）集合中的每个对象叫作这个集合的元素；（2）元素常用小写字母a,b,c,d,标记；3、元素与集合的关系：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作aA；若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作aA。4、集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内。如：小于10的所有质数组成的集合用列举法可以表示为A2，3，5，7。（2）描述法：描述该集合中所有元素都应该满足的条件的方法。如：大于1而小于10的所有实数组成的集合用描述法可以表示为Bx1x10。（3）图示法：用一个封闭的曲线的内部直观地表示一个集合的方法，这个封闭的曲线称为Venn图。如：小于10的所有质数组成的集合用Venn图可以表示为 5、集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：不含任何元素的集合，用符号表示。例1 下列不能形成集合的是（ ）A、你现在的家庭成员；B、本单位已退休人员；C、老年人；D、本班的学生分析：因为集合一旦形成，那么对任何一个对象而言，它要么属于这个集合，要么不属于这个集合。但是，如何判断一个人是不是老年人尚无统一标准，所以不能形成集合。答：C。（二）集合的基本关系（本课学习的重点）1、包含（1）一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即若aA，则aB，就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作AB（或BA）。这时我们就说集合A是集合B的子集。任何一个集合是它本身的子集，即AA。2、相等：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时我们就说集合A与集合B相等，记作AB。即若AB，且BA，则AB。3、真子集（1）对于两个集合A与B，如果AB且AB，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）（2）空集是任何集合的子集，即对任意集合A，都有：A；空集是任何非空集合的真子集，即若集合A，则有A。例2 试写出集合A=1，2，3，4，5的所有子集。分析：以子集所含元素的个数分别为0，1，2，3，4，5进行分类解答：共有32个：，1，2，3，4，5，1，2，1，3，1，4，1，5，2，3，2，4，2，5，3，4，3，5，4，5，3，4，5，2，4，5，2，3，5，2，3，4，1，4，5，1，3，5，1，3，4，1，2，5，1，2，4，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，3，4，5，2，3，4，5，1，2，3，4，5。思考：若已知集合A有n个元素，则集合A的子集有多少个？真子集有多少个？（三）集合的基本运算（本课学习的重点和难点）1、交集：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作AB，读作“A交B”，即ABx|xA且xB。2、并集：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作AB，读作“A并B”，即ABx|xA或xB。例3 已知集合A=x|0x3,B=x|1x2，求AB、AB。分析：集合A和B都是数集，可借助数轴进行研究。解：在数轴上分别表示出集合A与集合B，如图：则得：AB=x|0x2， AB=x|1x3。3、全集：一般地，在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定的集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示。全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素。4、补集（或余集）：设U是全集，A是U的一个子集（即AU），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集（或余集），记作：CUA，即CUA=x|xU，且xA。5、求集合的交集、并集和补集都是集合的运算； 两个集合运算的结果仍然是一个集合。主要运算性质：AA=A，AA=A；AB=BA，AB=BA；（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；A（BC）=（AB）（BC），A（BC）=（AB）（BC）；CU（AB）=CUACUB，CU（AB）=CUACUB主要运算关系：ABA，ABB；ABA，ABB；AB=AAB，AB=AAB；说明：对以上运算法则和运算关系的理解可结合Venn图进行。例4 已知集合A=x|0x1，求CRA.分析：本题求解集合A在实数集R中的补集，即求所有不属于A的元素组成的集合。解：CRA=x|x0或x1.【典型例题】考点一：集合的含义对集合含义的考查主要集中在对集合中元素的无序性、互异性和确定性的考查上，常见错误是在解题中忽略了集合中元素必须具备的这三种性质。例5 已知集合A=1，3，a2，B=a+2，若BA，求实数a。解：由BA可得a+2=1或a+2=3或a+2=a2，从而解得a=1或a=1或a=2。又当a=1或a=1时，a2=1，即集合A中元素不满足互异性，故a=2。说明：本题解答中的常见错误是没有对集合A中元素的互异性进行检验，从而得到a=1或a=1或a=2。考点二：空集的性质空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。这是空集的重要性质，在利用两个集合之间的关系求解参数的时候容易遗漏。例6 已知集合A=x|（x1）（xa）0，B=x|1x2，AB，求实数a的范围。解：讨论：当a1时：A=x|ax1时：A=x|1xa，由AB，a2；当a=1时：A=，亦满足题意。综上所述：1a2。说明：a=1时，A=，由空集的性质知：此时AB。此解极易被忽略。考点三：判断两个集合之间的关系对两个集合之间关系的研究主要看元素所满足的条件（或性质），寻找其间的异同点。例7 已知集合A=x|x=4k1,kZ，B=x|x=2k+1,KZ，试判断集合A、B的关系。解：对集合A，元素x=4k1=2k+（2k1），即集合A中的元素可以表示为一个奇数和一个偶数之和，仍是一个奇数，故集合A是全体奇数形成的集合，所以A=B。说明：本题也可对k分奇数和偶数进行讨论。解答这种题型的常见问题有二，一是取特殊值试解，然后归纳；二是不知如何下手，此时需要对两个集合中元素所满足的条件式进行变形，尽量使得两者在形式上更为接近，再分析其间的差异，如本题就可将A中元素改写为x=4k1=2k+（2k1），即一奇数与一偶数之和，B中元素改写为x=2k+1=k+（k+1），也是一奇数和一偶数之和，故可得出结论。考点四：利用两个集合之间的关系求参数利用两个集合之间的关系进行解题是一个重点题型，考查十分频繁。例 参见考点一和考点二的例题。考点五：集合运算直接求集合间的运算也是一个重点题型，大多结合解简单的不等式进行考查。例8 已知集合M=x|x1，则MN等于（ ）A、B、x|0x3C、x|1x3D、x|2x1。四、本课涉及的主要数学思想方法1、分类讨论的思想：在利用两个集合间的关系进行解题时，往往要进行分类讨论，如对条件“AB”往往就要分“A=”和“A”两种情形进行讨论；通过此类题型的训练，可以促进同学们思维严密性的提高。2、数形结合的思想：研究两个集合间的关系和运算时，可以借助Venn图、数轴等几何图形进行研究或帮助理解。通过此类题型的训练，可以使同学们快速把握数学概念、数学关系的几何特征，从而快速求解。【模拟试题】一、选择题1、设集合M=x|x2x0，N=x|x|0,yR D、（x,y）|y2=x2，x,yR3、若A=x|x2=1,B=x|x22x3=0，则AB（ ）A、3B、1C、D、14、设a,bR，集合1，a+b,a=0,b,则ba=（ ）A、1B、1C、2D、25、如果U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，那么CUACUB=（ ）A、1，2 B、3，4 C、5，6 D、7，86、若A、B、C为三个集合，AB=BC，则一定有（ ）A、AC B、CA C、AC D、A=7、定义集合运算：AB=z|z=xy（x+y）,xA,yB.设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（ ）A、0 B、6 C、12 D、18二、填空题8、已知集合A=xR|ax2+2x+1=0,aR只有一个元素，则a的值为 ；9、满足1，3A=0，1，2，3的所有集合A的个数是 。三、解答题10、已知集合A=a2,2a2+5a,12且3A，求a的值。11、已知全集为R，A=y|y=x22x2,B=y|y=x22x+2，求（CRA）B.12、已知集合A=x|x2+2x+m=0，B=x|x23x+2=0，AB，求m的取值范围。13、已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR,xR.若A中至多只有一个