第五课时等差数列的前n项和一

算术级数在第五课(1)中的前N名总结教学目标：为了掌握算术级数的前N个项和公式及其获取思路，我们将使用算术级数的前N个项和公式来解决一些与前N个项和公式相关的简单问题。提高学生的推理能力和应用意识。教学重点：算术级数的前N项和公式的推导、理解和应用。教学中的困难：灵活应用算术级数的前N个公式解决一些简单的相关问题。教学过程：一、复习和复习经过之前的研究，我们知道在算术级数中：(1) an-an-1=d (n 1)，d为常数。(2)如果A、A和B是算术级数，A=1。(3)如果m n=p q，则am an=AP AQ。(其中m，n，p，q是正整数)二。新课程教学随着学习系列的深入，我们经常会遇到这样的问题。例如，如图所示，将一支铅笔放在用于堆叠铅笔的V形架子的底层上，在底层之上的每层上再放置一支铅笔，并且在顶层上放置120支铅笔。这个V形架子上放了多少支铅笔？这是一个V形的铅笔堆放架，类似于之前接触的钢管堆放示意图。看到这个图表，每个人都会很快找到每层铅笔的数量和层数之间的关系，这个关系可以用一个等式来表示，这个等式可以用来计算每层铅笔的数量。那么，这个V形架子上放了多少支铅笔？如何解决这个问题？经过分析，我们不难看出这是一个算术和问题？首先，让我们看看这个问题：1 2 3 100=？对于这个问题，著名的数学家高斯在他10岁的时候就很快得出了它的结果。你知道他是怎么算出来的吗？高斯算法是：第一项和最后一项之和：1 100=101。第2项和倒数第二项之和：2 99=101。第3项和倒数第3项之和：3 98=101。第50项和倒数第二项的总和：50 51=101，所以总和是101=5050。这个问题也和我们刚才遇到的问题相似。它可以被看作是算术级数1，2，3，n，在上面的解中，我们发现和可以用第一项、最后一项和项数n来表示，并且任何k项和倒数k项的和等于第一项和最后一项的和，这启发我们如何求一般算术级数的前n项的和。如果我们能总结出一个计算公式，上述问题就能很容易地解决。让算术级数an的前n项之和为Sn，即sn=a1 a2 an 项目的顺序是相反的，序号可以写为序号=an-1a1(2)+2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)同样a2 an-1=a3 an-2=a4 an-3=a12Sn=n(a1+an)即：sn=根据算术级数an的通项公式，Sn可以写成：Sn=a1 (a1 d).a1 (n-1) d ，项的顺序颠倒，sn可以写成：sn=an (an-d).an-(n-1) d )，分别加和的两边得到2Sn=n(a1+an)也就是说，sn=。由此，可以获得公式sn=，它是算术级数an的前n项的和。换句话说，算术级数的前n项之和等于前两项和后两项之和与项数的乘积的一半。用这个公式计算1 2 3 100=？我们有S100=5050。此外，an=a1 (n-1) d，Sn=na1+d sn=或sn=na1 d有了这个公式，我们就不难解决开始时遇到的问题。让我们看看如何解决它们。根据分析，这个V形框架上有120层铅笔，每层铅笔从上到下形成一个算术级数，可以记录为an，其中A1=1，a120=120，N=120。解决方案：铅笔从上到下被设置为算术级数an，其中n=120，a1=1，a120=120。然后：s120=7260答：这个v型架上有7260支铅笔。让我们看另一个例子：算术级数-10，-6，-2，2，前54项的总和是多少？分析：首先，根据等差数列给出的项计算该数列的第一项和容差，然后根据等差数列的求和公式求解。解决方法：让问题中的算术级数为an，前n项为Sn。根据问题的含义，A1=-10，D=(-6)-(10)=4，SN=54根据算术程序前N项的求和公式解决方案：n1=9，N2=-3(略)答：算术级数的前9项之和-10，-6，-2，2，是54岁。示例1在算术级数an中，(1)假设A2 A5 A12 A15=36，计算S16(2)假设A6=20，搜索S11。分析：(1)由于本课题只给出了一个方程，a1，a16，D不能用条件直接得到，但a1，A16的和可以根据算术级数的性质用条件直接得到，所以问题就解决了。(2)要求S11只知道a1 a11，a1和a11之间相等差的中值是a6，因此解决了该问题。解决方案：(1)A2 A15=A5 A12=A1 A16=18S16=818=144.(2 )* a1+a11=2 a6S11=11a6=1120=220.例2有一个算术级数，它的项数是2n 1。找出奇数项和偶数项和的比值。分析1:使用sn=na1 d解决问题。解决方案1:让序列的第一项为a1，公差为D，奇数项为a1，A1 2D，它的总和是S1，共N 1项；偶数项是a1 d，a1 3d，a1 5d，他们的总和是S2，总共n项。=.分析2:使用序号=解决问题。解决方案2:从解决方案中了解：S1=，S2=* a1+a2n 1=a2+a2n =例3如果两个等差数列的前N项之和的比值是(7N 1): (4N 27)，试着找出它们的第11项的比值。分析1:利用AQ的性质来解决问题。解决方案1:让序列an的前n项之和为Sn，序列bn的前n项之和为t n。然后：a11=，b11=，=分析2:使用算术级数的前N项和SN=AN2BN来解决问题。解决方案2:让序列号=(7N 1)自然杀伤人员地雷和TN=(4N 27)自然杀伤人员地雷由问题设定从an=sn-sn-1=k (14n-6)，a11=148k，n2Bn=TN-TN-1=k (8n-23)，结果b11=111k，n2。=.备注：对于本例，一般结论是：给定算术级数an和bn的前N项之和分别为Sn和t N，则：(1)=；(2)=。示例4如果算术级数an的前m项之和为30，前2m项之和为100，则前3m项之和为答：公元前170年到公元210年分析1:专门化问题，即，命令m=1来解决它。解决方案1:如果m=1，a1=S1=30，a2=S2-S1=70d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110,s3=a1+a2+a3=210分析2:使用算术级数的前N项和公式SN=NA1 D来求解。解决方案2:从已知中获取A1=，d=S2m=3ma1+d=210.分析3:借助算术级数的前N项和公式SN=和性质M N=P QAM An=AP AQ来求解。解决方案3:从已知从-和-结合，S3m=210。分析4:根据性质：“如果an已知为算术级数，Sn，S2N-SN，S3n-S2n，SKN-南(K-1)北，(K 2)变成算术级数”。解决方案4:根据上述性质，Sm，S2M-SM，S3m-S2m称为算术级数。所以sm (s3m-s2m)=2 (s2m-sm)，S3m=3(S2m-Sm)=210.分析5:根据sn=an2 bn。解答5:安是算术级数。让sn=20亿，Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100A=，b=S3m=9m2a+3mb=210.分析6:利用算术数列的求和公式，用SN=NA1 D来解决问题。解决方案6:从sn=na1 d，即=a1 d由此我们可以看到序列也变成了算术级数，即算术级数。By=，sm=30，S2m=100S3m=210.备注：一般来说，算术级数am有=(P Q)。示例5在A和B之间插入10个数字，用这两个数字做算术级数，找出这10个数字的和。分析：解决问题有两个关键：一是求和公式的选择；第二是充分利用算术级数的性质。解决方案1:如果插入的10个数是x1，x2，x3，x10，然后是A，x1，x2，x10和b是算术级数。假设s=x1 x2 x3 x10，第一项x1和公差d是必需的。* b=a12=a1+11dd=,x1=a+=S=10x1+d=10+=5(a+b)解决方案2:尝试与上面相同的方法，但是不要问d。根据X1 X10=A BS=5(a+b)解决方案3:试着和上面一样。如果你面临困难，你将不得不面对它们。S=S12-(a+b)=-(a+b)=5(a+b)备注：求和的问题是灵活多