高三数学4用分割法求面积和体积棱的直截面求体积

1 S A B C D 4 4 用分割法求面积和体积（棱的直截面求体积）用分割法求面积和体积（棱的直截面求体积） 4.14.1 作棱的直接面割补法求斜棱柱的体积作棱的直接面割补法求斜棱柱的体积 【例例 5】5】 （2011辽宁高考）已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=2， ASC=BSC=45，则棱锥 S-ABC 的体积为（ ） A B C D 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 【解析解析】设球心为，则是两个全等的等腰直角三角形斜边OBOAO, 上的高（如图 4-1） ，斜边故，且有, 图 4-14,SC 2 BOAOSCAO =SCBO )( 3 1 OCSOSVVV AOBAOBCAOBSABCS 3 34 42 4 3 3 1 2 【评注评注】用分割法求体积（棱的直截面求体积）用分割法求体积（棱的直截面求体积） ，分割的目的是化不可求为可求，或者化不，分割的目的是化不可求为可求，或者化不 易求为易求；易求为易求；特殊的三棱锥通过作某棱的直截面，将三棱锥分割成公底面的两个三棱锥， 其该侧棱就是两个小三棱锥高的和。 【变式变式 1】1】四面体的直截面分割四面体的直截面分割 四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.则该四面体的体积的最大值为 【变式变式 1】1】答案答案 3 8 a 【解析解析】如图 4-2，在四面体ABCD中， 设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P， BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC， VA-BCDVA-BPCVD-BPCSBPCAPSBPCPD 图 4-2 1 3 1 3 SBPCAD (当且仅当时取等号) 1 3 223 2 113 3 322248 axaa axa 24 3xa 【变式变式 2】2】直截面分割探究体积存在性问题直截面分割探究体积存在性问题 一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是 边长为 1 的正三角形，则这个三棱锥的体积为 （写出一个可能的值即可）. 【变式变式 2】2】答案答案其中之一. 图 4-3 223 , 241212 【解析解析】若顶角中有两个角是直角,一个角为 60 度, 若两等腰直角 133 1 3412 V 2 D B C A1 C1 B1 A E 三角形的公共直角边与底面垂直,此底面是腰为的直角三角形体积为 2 2 ;如图 4-3，若两等腰直角三角形有公共斜边 SB, 121222 3222224 V SA=SC=AC=1, 取 D 为 AC 中点,连结 SD,DB,SDB 为棱 AC 的直截面, 33 2 22 211332 22 44 coscos,sin,1 33322231213 2 22 SDBV 此时体积为 2 . 12 4.24.2 作棱的直接面割补法求斜棱柱的体积作棱的直接面割补法求斜棱柱的体积 【例例 6】6】 斜三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长等于 b，一条侧棱 AA1与底面相邻两边 AB、AC 都成 450角，则这个三棱柱的体积 侧面积为 . 【解析解析】 依据题设特殊性，过点 B 作 BMAA1于 M，连结 CM，在ABM 和ACM 中， AB=AC，MAB=MAC=450，MA 为公共边，ABM ACM，AMC=AMB=900，AA1平面 BMC，即平面 BMC 为侧棱的直截面， BM=CM=ABsin450=a，直截面为底为 a,腰为a 的等腰三角形，易求面积为,则三 2 2 2 2 2 4 a 棱柱的体积为 , BMC 周长为 2a+a=(1+)a，且棱长为 b ，S=(1+)ab. 2 4 a b 2 2 22 【评注评注】斜三棱柱的体积通过作棱的直截面，割补成直棱柱易求其体积和侧面积，关键在 于依据题设的特殊性选择特殊位置构建侧棱的直截面. 注意作直截面需要证明。 【变式变式 1】1】斜三棱直接面割补求体积斜三棱直接面割补求体积直接面分割求三棱柱体积直接面分割求三棱柱体积 （徐州市（徐州市 1515 第第 3 3 次质检）次质检）在三棱柱中，侧棱平面底 111 CBAABC 1 AA, 1, 111 AACAB 面是边长为 2 的正三角形，则此三棱柱的体积为 .ABC 【变式变式 1】1】答案答案2 【解析】如图 4-4 取线段的中点，连接，过点作于点，BCD 1 ,AD ADA 1 AEADE 因为底面是正三角形，则，又因为 111 ABC 111 ADBC 侧棱平面，平面， 1 AA 11 ABC 11 ,AD BC 11 ABC 所以所以平面， 1 AA 11, BC 1 AAAD 11 BC 1 ADA 则平