高三总复习7由函数图形的对称性得到函数的周期性

高三总复习由函数图象的对称性得到函数的周期性 请同学们看一道高考题：f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于直线x=1对称，且对于任意x1, x20,都有：f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f(1)=a0。（1）略；（2）证明f(x)为周期函数；（3）略。 由条件“f(x)是偶函数”，知函数f(x)的图象关于直线x=0对称。因此，本题告诉我们这样一个基本事实：若函数f(x)图象关于直线x=0和x=1对称，则f(x)是周期函数。 证明上述结论的关键是借助于图象观察到f(x)的一个周期是2，从而只要证明f(x+2)=f(x)即可。 用同样的研究方法，不难将上述问题一般化。 命题1 若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(ab)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 证： f(x)的图象关于直线x=a和x=b(ab)对称， f(x)=f(2a-x), f(x)=f(2b-x), f2(a-b)+x=f2a-(2b-x)=f(2b-x)=f(x), f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 特别地，定义在R上的偶函数f(x)，若图象关于直线x=a(a0)对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期。 进一步探索：将命题1中一条直线换成一点，f(x)是否是周期函数？ 命题2 若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,y0)(ab)对称，则函数f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。 证： 函数f(x)的图象关于直线x=a对称， f(x)=f(2a-x). 又 f(x)的图象关于点(b,y0)(ab)对称， f(2b-x)=2y0-f(x), f4(a-b)+x=f2a-(4b-2a-x)=f(4b-2a-x)=f2b-(2a-2b+x)=2y0-f(2a-2b+x) =2y0-f2a-(2b-x)=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x)=f(x), f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。 再次探索：将命题1中两条直线换成两点，f(x)是否是周期函数？显然，对一般的两点，结论不成立，但对纵坐标相同的点，结论成立。 命题3 若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,y0)和(b,y0)(ab)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 证： f(x)是图象关于点(a,y0)和(b,y0)(ab)对称， f(2a-x)=2y0-f(x), f(2b-x)=2y0-f(x), f2(a-b)+x=f2a-(2b-x)=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x)=f(x), f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 例1已知f(x)是R上的奇函数，且f(+x)=f(-x),则f(1)+f(2)+f(3)=_。解：f(+x)=f(-x)，f(x)的图象关于直线x=对称。 又 f(x)是奇函数， 由命题2知，f(x)是周期函数，且2是它的一个周期， f(3)=f(-1)=-f(1)，f(2)=f(0)=0， f(1)+f(2)+f(3)=0。 例2定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x(-6,-2)时，f(x)=_。解： 偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称， 由命题1知f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。 当x(-6,-2)时，x+4(-2,2), f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17。注：