高三数学《立体几何初步》学案：平面的基本性质

第1课时 平面的基本性质基础过关公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面典型例题例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点MCODABMB1C1D1A1求证：点C1、O、M共线证明：A1ACC1确定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直线A1CO O面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上C1、O、M共线变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行提示：反证法例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交求证：与a、b、c共面证明：设alA blB clCab a、b确定平面 l Aa, Bb bcb、c确定平面 同理可证l所以、均过相交直线b、l 、重合 c a、b、c、l共面RPQCBA变式训练2：如图，ABC在平面外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R点求证：P、Q、R共线证明：设平面ABCl，由于PAB，即P平面ABCl，即点P在直线l上同理可证点Q、R在直线l上P、Q、R共线，共线于直线l例3. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上OC1B1A1ABC证明：(1) AA1BB10，AA1与BB1确定平面，又Aa，B，A1，B1，AB，A1B1，AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内(2) 设ABA1B1X，BCB1C1Y，ACA1C1Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可变式训练3：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，ABECDFA1B1C1D1求证：(1) E、CD1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点证明(1) 连结A1B 则EFA1B A1BD1CEFD1C E、F、D1、C四点共面(2) 面D1A面CADAEFD1C 且EFD1CD1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面ACD1F与CE的交点必在DA上CE、D1F、DA三线共点例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面又adA 点A 直线a同理可证：b、c a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点abQ a与b可确定一个平面又cbE E同理caF F直线c上有两点、在上 c同理可证：d 故a、b、c、d共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。小结归纳1证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面2证明点、线共面问题有两种基本方法：先假定部分点、线确定一个平面，