江苏南京师大附中第1学期高三期试数学

江苏省南京师大附中20082009学年度第一学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵 审题人：孙居国2008.12.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1设集合，则 ；2已知为第三象限角，则的符号为 (填“正”或“负”)； 3设的三个内角、所对边的长分别是、，且，那么 ； 4在等差数列中，则的值为 ；5若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为 ； 6若函数的定义域为，则的取值范围是 ；7设复数，则 ；8已知变量、满足条件则的最大值是 ；9函数在（0，）内的单调增区间为 ； 10若ABC的三个内角所对边的长分别为，向量，若，则等于 ；11已知等比数列中，则该数列的通项= ；12已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是 ；13若为的各位数字之和，如，则；记，则 ；14下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = ；二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15（本小题满分14分）已知,且 （1）求的值； （2）求16（本小题满分14分）BACDE如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，交于，（）求的值；（）求 17（本小题满分14分）已知函数 满足；（1）求常数的值； （2）解不等式18（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为. 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）试用表示（不要求证明）； 若，求的值； 10记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求20（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中20082009学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 4，52负 3 4 12 5；6 7 1；8 6 ；9 10 11 32n31213 11；14 3a-b+c 二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15（本小题满分14分）已知,且 （1）求的值； （2）求的值.解：(1)由sin= 又 0 cos=,tan= =（2）tan(16（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，交于，BACDE（）求的值；（）求 解：（）因为， 所以 所以 （）在中，由正弦定理 故 17（本小题满分14分）已知函数 满足；（1）求常数的值； （2）解不等式解：（1）因为，所以； 由，即， （2）由（1）得 由得，当时，解得， 当时，解得， 所以的解集为18（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），与的函数关系式为 （2）由得，（舍）当时；时，函数 在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 1019. （本小题满分16分）解：（1）三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 =（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解由，得，（另解： ）于是，第63行的第一个数是， 故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，当时，也适合，20（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对（0,+）恒成立，则 的取值范围是. （II）设当，即时，函数在1,2上为增函数， 当时，；当时，.综上所述： （III）设点P