高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系人教

用心 爱心 专心 高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 直线的方程、两条直线的位置关系 二. 教学重、难点： 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系。 【典型例题典型例题】 例 1 已知点 P 到两个定点 M（） ，N（1，0）距离的比为，点 N 到直线 PM 的0 , 12 距离为 1，求直线 PN 的方程。 解：解：设点 P 的坐标为（x，y） 由题设有 即2 PN PM 2222 ) 1(2) 1(yxyx N 到 PM 的距离为 1，016 22 xyx2MN PM 的方程为： 30PMN) 1( 3 3 xy 代入： 014 2 xx32x P（）或（） ；或31 , 3231, 32)31, 32()31 , 32( PN 的方程为或1 xy1xy 例 2 已知的顶点 A（3，4） ，B（6，0） ，C（） ，求的内角平分线 ATABC2, 5 A 所在的直线方程。 解：方法一：解：方法一： 直线 AC 到 AT 的角等于 AT 到 AB 的角 又 ， 4 3 )5(3 )2(4 AC k 3 4 63 04 AB k 设 AT 的斜率为或，则 3 4 (kk) 4 3 k k k k k ) 3 4 (1 3 4 4 3 1 4 3 化简得，解之，得或（舍去）07487 2 kk7k 7 1 k 直线 AT 的方程为)3(74xy 即所求的方程为0177 yx 方法二：方法二：设直线 AT 上的动点 P（x，y）则 P 点到 AC、AB 的距离相等 4 3 )5(3 )2(4 , 3 4 63 04 ACAB kk 用心 爱心 专心 直线 AB 的方程为，即)3( 3 4 4xy02434 yx 直线 AC 的方程为)3( 4 3 4xy 即 那么0743yx 5 743 5 2434 yxyx 即或0177 yx0317yx 结合图形分析知是的角 A 外角的平分线，故舍去。0317yxABC 所求的方程为0177 yx 例 3 的三个顶点分别为 A（） ，B（2，1） ，C（） ，试分别求出：ABC0 , 33 , 2 （1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上的中线 AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线的方程。 解：解：（1）由题意，根据直线方程的两点式，可得 BC 边所在直线的方程为 ，即 22 2 13 1 xy 042yx （2）由题意，BC 中点 P 的坐标为（0，2）又 A（） ，可由直线方程的截距式求0 , 3 得中线 AD 所在直线的方程为，即。1 23 yx 0632 yx （3）由题意，其中点为（0，2） ，BC 的垂直平分线的斜率为 2 1 22 13 BC k 2，由直线方程的斜截式，求得直线方程为，即22 xy022 yx 例 4 已知两直线，当为何值时，06: 2 1 ymxl023)2( : 2 mmyxmlm 与（1）相交；（2）平行；（3）重合? 1 l 2 l 解：解：当时， 0m0:, 06: 21 xlxl 21/l l 当 m时，2023:, 064: 21 ylyxl 与相交 1 l 2 l 当且时，由，得或0m2m m m m32 1 2 1m3m 由，得 mm2 6 2 1 3m 故（1）当，且时，与相交1m3m0m 1 l 2 l （2）当或时，1m0m 21/l l （3）当时，与重合3m 1 l 2 l 例 5 已知点 P（2，） ，求：1 （1）过 P 点与原点距离为 2 的直线 的方程；l （2）过 P 点与原点距离最大的直线 的方程，最大距离是多少？l （3）是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说 明理由。 解：解：（1）过 P 点的直线 与原点距离为 2，而 P 点坐标为（2，1） ，可见，过l 用心 爱心 专心 P（2，1）且垂直于轴的直线满足条件x 此时 的斜率不存在，其方程为l2x 若斜率存在，设 的方程为，即l)2(1xky012kykx 由已知，得 解之，得2 1 12 2 k k 4 3 k 此时 的方程为l01043yx 综上，可得直线 的方程为或l2x01043yx （2）作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由 ，得OPl 1 OPl kk 所以。由直线方程的点斜式得，即2 1 1 OP k k)2(21xy052 yx 故直线是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为052 yx5 5 5 （3）由（2）可知，过 P 点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过 P 点且5 到原点距离为 6 的直线 例 6 已知函数，求的最小值，并求取得最小8422)( 22 xxxxxf)(xf 值时的值。x 解：解： 8422)( 22 xxxxxf 2222 )20()2() 10() 1(xx 它表示点 P（x，0）与点 A（1，1）的距离加上点 P（x，0）与点 B（2，2）的距离之 和，即在轴上求一点 P（x，0）与点 A（1，1） ，B（2，2）的距离之和的最小值。x 由图可知转化为求两点和间的距离，其距离为函数的最小值) 1, 1 ( A)2 , 2(B)(xf 的最小值为)(xf10)21()21 ( 22 再由直线方程的两点式得方程为B A 043 yx 令，得 当时，的最小值为0y 3 4 x 3 4 x)(xf10 例 7 已知 n 条直线，0:, 0:,2, 0: 3322111 CyxlCyxlCCyxl （其中） ，这 n 条平行直线中，每相邻两条直0: nn Cyxl n CCCC 321 线之间的距离顺次为 2、3、4、n。 用心 爱心 专心 （1）求； n C （2）求与轴、轴围成的图形的面积；0 n Cyxxy （3）求与及 x 轴、y 轴围成的图形的面积。0 1 n Cyx0 n Cyx 解：解：（1）原点 O 到的距离为 1，原点 O 到的距离为 1+2，原点 O 到的距离 1 l 2 l n l 为 n d 2 ) 1( 21 nn n nn dC2 2 ) 1(2 nn Cn （2）设直线交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则面积0: nn CyxlOMN 4 ) 1( 2 1 2 1 22 2 nn CONOMS nOMN （3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知，则有 4 ) 1( 2 nn Sn 4 ) 1( 22 1 nn Sn 3 2222 1 4 ) 1( 4 ) 1( n nnnn SS nn 所求面积为 3 n 例 8 已知三条直线：（） ，直线：和直线： 1 l02ayx0a 2 l0124yx 3 l ，且与的距离是。01 yx 1 l 2 l5 10 7 （1）求 a 的值； （2）求到的角 3 l 1 l （3）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： P 是第一象限的点； P 点到的距离是 P 点到的距离的； P 点到的距离与 P 点到的距离之比是 1 l 2 l 2 1 1 l 3 l ？若能，求 P 点坐标；若不能，请说明理由。5:2 解：解：（1）即 2 l0 2 1 2 yx 与的距离 1 l 2 l 10 57 ) 1(2 ) 2 1 ( 22 a d 10 57 5 2 1 a 2 7 2 1 aa03a （2）由（1） ，即 ，而的斜率 1 l032 yx2 1 k 3 l1 3 k 3 ) 1(21 ) 1(2 1 tan 31 31 kk kk 03arctan （3）设点 P（） ，若 P 点满足条件，则 P 点在与平行的直线： 00, y x 21 ll 、 l 用心 爱心 专心 上，且 即或02Cyx 5 2 1 2 1 5 3 C C 2 13 C 6 11 C 或0 2 13 2 00 yx0 6 11 2 00 yx 若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式有 2 1 5 2 5 32 0000 yxyx 即 或132 0000 yxyx042 00 yx023 0 x 由 P 在第一象限 不可能 023 0 x 联立方程和0 2 13 2 00 yx042 00 yx 解得但不符合题意应舍去 2 1 3 0 0 y x 解得 042 0 6 11 2 00 00 yx yx 18 37 9 1 0 0 y x ) 18 37 , 9 1 (P 即为同时满足三个条件的点。 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 曲线在点（）处的切线方程为（ ）13 23 xxy1, 1 A. B. 43 xy23 xy C. D. 34 xy54 xy 2. 若点 P（2，）为圆的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为（ 125) 1( 22 yx ） A. B. 03 yx032 yx C. D. 01 yx052 yx 3. 直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1，那么的范围是（ 022kyxk ） A. B. C. 且 D. 或1k1k11k0k1k1k 4. 已知平面上直线 的方向向量，点 O（0，0）和 A（1，）在 上的射l) 5 3 , 5 4 (e2l 影分别是和，则=，其中等于（ ） O A AOe A. B. C. 2 D. 5 11 5 11 2 5. 已知过点和的直线与直线平行，则 m 的值为（ ), 2(mA )4 ,(mB012 yx ） A. 0 B. C. 2 D. 108 用心 爱心 专心 6. 已知的顶点，B（6，4） ，重心 H（5，2） ，则点 C 的坐标为（ ABC)2 ,10(A ） A. B. C. D. )4, 6( )6, 6( )6, 1 ( )6, 4( 7. 已知是直线上两点，则 A、B 两点间的距离是（ ),(),( 2211 yxByxAbkxy ） A. B. C. D. 21 xxk 2 21 1kxx 2 21 1k xx k xx 21 8. 已知两直线的方程分别为，它们在坐标系中的0: 1 bayxl0: 2 dcyxl 位置如图所示，则（ ） A. cadb, 0, 0 B. cadb, 0, 0 C. cadb, 0, 0 D. cadb, 0, 0 二. 解析题： 1. 若点 A（） ，B（） ，直线 过点 P（1，1） ，且与线段 AB 相交，求直线3, 2 2, 3 l 的倾斜角及斜率的取值范围。l 2. 过点 M（0，1）作直线，使它被两已知直线，0103: 1 yxl 所截得的线段恰好被 M 所平分，求直线 的方程。082: 2 yxll 3. 已知点 A、B 的坐标分别是，直线 的方程为，问直线)3 , 5(),1, 2( l012 yx 是否与线段 AB 相交？l 4. 已知直线 经过点 P（3，1）且被两平行直线和截l01: 1 yxl06: 2 yxl 得的线段长为 5，求直线 的方程。l 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 1. B 解析：解析：，则，即曲线在点（）处的切xxy63 2 3| 1 x y13 23 xxy1, 1 线的斜率为，又切点为（） ， 所求切线方程为，即3k1, 1) 1(31xy 23 xy 2. A 解析：解析：由圆的弦的性质，圆心 O（1，0）与 P 点连线与 AB 垂直，由知1 OP k ， 直线 AB 的方程为，即1 AB k)2(11xy03 yx 3. C 解析：解析：令得，令，得0xky 0ykx2 三角形面积 又，即 2 2 1 kxyS1S1 2 k11k 又 时不合题意，故选 C0k 4. D 解析：解析：如图所示，令过原点，与方向相反，排除 A、C，验证 D 即可。e AOe 5. B 解析：解析：，令，解得)2( 2 4 m m m kAB2 2 4 m m 8m 6. B 解析：解析：设点 C 的坐标为（6，y） ，由题意，知 BHAC，AHBC，得6y C（6，）6 7. B 8. C 解析：解析：对于直线，令可得，斜率，0: 1 bayxl0y0bx0 1 1 a k 直线，令，得0，斜率，从图中可以看出0: 2 dcyxl0ydx0 1 2 c k ，即，可得 21 kk ca 11 ca 二. 1. 解析：解析：结合图象，知直线 与线段 AB 有交点，只需直线 从 PB 逆时针绕 P 转到直线ll PA，而，在这个旋转过程中， 的斜率由变化到无穷大，又由负 4 3 PB k4 PA kl PB k 用心 爱心 专心 无穷大变化到，所以斜率的范围是，倾斜角的范围是 PA k), 4 3 4,( 4arctan, 4 3 arctan