高三数学第一轮复习：立体几何复习：空间向量与立体几何理人教实验B

高三数学第一次复习：三维几何复习：空间矢量和三维几何(理论)人类教育实验版(b)此课程的培训信息一.讲座内容：检查三维几何图形：空间矢量和三维几何图形二.教育目的1、掌握空间矢量的概念、运算和应用。掌握利用空间矢量解决二维、三维几何问题的方法。三.考试点分析本课程的主要内容是空间矢量及其运算和空间矢量的应用部分。1，空间向量及其运算焦点：矢量的线性和定量乘积运算及其应用。困难：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解这些定理可以很好地掌握矢量的各种知识及其关系。(1)空间向量的线性运算焦点：空间矢量运算和运算法则困难：应用矢量解决三维几何图元的问题。平面向量被限制在研究同一平面内的变换，空间向量研究空间内的变换，空间中的两个向量都是方向相同的，因此空间向量加、减、乘向量的意义和运算法则类似于平面向量。(2)空间向量的基本定理焦点：空间矢量共线和共面条件，空间矢量分解清理。困难：对这些定理条件的理解和应用，空间向量分解定理的映射(3)两个向量的数量积重点：两个向量的定量产品计算方法及其应用。困难：将两个向量的数量积的几何意义和三维几何问题转换为向量计算问题。空间中的两个向量都可以转换为共同的朝向量，因此空间中两个向量的夹角定义、值范围、两个向量的垂直定义以及表示符号和向量强度的概念和表示符号都与平面向量相同。(4)空间矢量的笛卡尔坐标运算焦点：向量的座标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直条件。困难：确定矢量坐标，应用公式。2、空间矢量应用焦点：直线的方向向量和直线的向量方程式；平面的法向矢量和平面的矢量表示；直线和平面的角度；二面角及其测量；距离。困难：使用平面的法向矢量查找直线和平面之间的角度和二面角，以及从点到平面的距离。(1)直线的方向向量和直线的向量方程式焦点：使用直线的方向向量、平行关系的论证和向量运算来寻找两条直线垂直或两条直线的角度。困难：直线的方向矢量，平面的共同方向选择和表达。(2)平面和直线的角度焦点：计算斜线和曲面角度(或角度)的方法。困难：斜线和平面夹角的解决方案，公式的灵活使用。四、梳理知识基本概念1，清理共线矢量：空间的任意两个矢量()的充分条件是实数。推论：如果l通过已知点a，并且是平行于已知非零向量的直线，则对于任意点o，点p的直线先决条件为实数，相符方程式。其中向量称为直线l的方向向量。从l上拿走，或。o是空间中任意点，a，b，c的三点共线的充要条件。其中x y=1。特别是在当时，p是AB的重点，被称为段AB的重点公式。2，共面定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充分条件是，实数对x，y存在。推论：空间有有序实数对(x，y)，是定位在平面MBA内的充分必要条件。空间随机点o的是。对于空间随机点o，p、m、a、b 4点共面的充分必要条件为：如果3，3个向量不共面，则存在与任意空间向量唯一对齐的实体阵列(x，y，z)，其中称为空间的一个基础，全部称为基础向量。推论：设定o，a，b，c是4个不共面的点，对于空间中的所有点p，有唯一的有序实际阵列。4，空间向量的数量积：空间向量数量积的性质： 空间向量数量积的运算法则：(接合法)(交换法)(分配法)5，矢量的笛卡尔坐标运算设置，下一步设置，下一步基本方法1、平面法向矢量方法平面的垂直向量，使用与平面上两个非共线向量互垂的座标，数量乘以0列示了的两个三元一次方程式，并取得了此方程式非零解平面的一组法线向量。2、波前角度方法平面的法线向量，平面的斜线l的方向向量，线与平面的夹角为arc3，2面角法如果AB，CD是一条直线，在每个二面角的两个面内垂直于棱镜，那么二面角的大小是；设定2面角为2面的法线向量，使其成为2面角(或其补角)的大小。4，点，面距离方法平面的法线向量，如果AB是平面的斜线区段，则为从点b到平面的距离。典型例子范例1。在平行立方体中，m、n、p分别是、BC、的中点，测试a、b、c表示以下矢量，如图所示：(1)；(2)；(3)。分析：根据空间矢量进行加法和减法运算的法则和运算法则。分析：(1)p是中点。(2)n是BC的重点，(3)m是重点，又来了评论：用已知矢量显示未知矢量，必须结合图形，这是解决问题的关键。要正确理解矢量加、减、乘运算的几何意义。末端相接的几个矢量的和等于从起始矢量的起点指向结束矢量的终点的矢量。我们称这个定律为向量加法的多边形定律，可以在三维几何中灵活地应用三角形定律。向量加法的平行四边形法则在空间上仍然成立。共线，共面问题范例2 .已知的a、b、c三点不共线且位于平面外的点o在以下条件下，点p是否必须与a、b、c共面？(1)；(2)分析：首先简化已知方程式，以确定是否可以转换为4点共面的充分先决条件。分析：(1)原始变形为通过共方向定理的推论，可以看出p和a，b，c是共面的。(2)原始变形如下p与a、b、c不共面。观点：点共面问题，可以转换为向量共面问题，p，a，b，c 4点共面证明，或空间随机点o，在这种情况下，以上结论是确定空间4点共面的必要条件，共面定理实际上是具有3个非零向量的直线共面上的必要条件。空间向量基本定理范例3 .矩形ABCD，p与平面ABCD稍有距离，pa平面ABCD，m，n是PC，PD上的点，m是固定比率2，n分PD除以比例1，以满足实际x，y，z的值。分析：您可以从向量开始，继续分解为向量运算规则，直到所有向量均显示为，来寻找x，y，z值。解决方案1:如图所示，采用PC中点(e)并连接NE。而且，连接交流时解决方案2:在PD中，f被分割为2的比例，MF被连接，如图所示。而且解决方案3:意见：使用选定空间不共面的三个矢量作为基本矢量，表示指定矢量，将已知和要求、观测图形、联想相关运算法则和公式相结合，作为表示所需矢量的矢量，解决三维几何图元问题的基本技术。与目标相比，不满足目标要求的向量被视为新的必需向量，并将继续，直到所有向量满足目标要求。这是向量的分解。必须进行分解才能引出部件，部件是分解表达。空间向量的基本定理准确地说明了空间中的所有向量可以表示为不在空间共面的三个向量组，并且a，b，c的系数是唯一的。空间向量数的乘积范例4 .在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90沿对角AC折叠，使AB和CD成60度角(如下图所示)。求b和d之间的距离。分析：acd=90，同样的道理ab和CD成60角60或120b和d之间的距离为2或注释：使用矢量数量的定义和特性，可以解决三维几何体中具有不同面的线的角度、两点距离或线段长度、证明线的垂直以及线的垂直等常见问题。(1)要找到矢量和角度，必须首先选择相应的基准，显示目标矢量和相应的组基准，然后查找自身数量的乘积和长度。最后使用公式。(2)线段长度是实数、实数和矢量之间的转换方法是思维的常见障碍，在矢量特性中提供了矢量和实数之间的转换工具，可以使用此公式创建将线段长度计算问题转换为两个相同矢量的数积的计算问题。使用空间向量证明平行和垂直问题范例5 .在图中，棱锥体p-ABCD中，底部ABCD为正方形，侧面PD (1)证明：PA/平面EDB；(2)证明：Pb平面EFD；(3)找到二面角c-Pb-d的大小。创建空间正交坐标系，如图所示。d是坐标原点。设定DC=a。(1)证明：交流连接，g到交流交流交流交流交流交叉BD，EG连接。按照问题的意思得到。底部ABCD是正方形的。g是此矩形的中心，因此点g的坐标是，邮报而且，PA/平面EDB。(2)按标题B(a，a，0)，另外，高句丽Pbde被称为EF PB 8801 PB。所以Pb平面EFD。(3)分析：点f的坐标为，邮报所以所以由条件efPb知道。，解决方案点f的坐标为因为PbFD，EFD是二面角c-Pb-d的平面角度。和EFD=60因此，二面角c-Pb-d的大小为60。观点：(1)只需证明两条线平行，证明两条线的方向向量是共线的向量。(2)证明线面平行的方法：证明直线的方向矢量垂直于平面的法向矢量。证明可以找到与平面中已知线的方向向量共线的向量。利用公共方向性定理证明直线的方向向量和平面内的两个共线向量是共面的量。(3)证明面平行的方法：线路并行，转换为线路表面并行处理；证明两个平面的法向量是共线向量。(4)证明直线垂直的方法是证明两条直线的方向向量相互垂直。(5)证明船面垂直的方法：证明直线的方向向量和平面的法线向量是共线向量。证明直线与平面内不共线的两个向量相互垂直。(6)证明面垂直的方法：线路垂直，转换为线路垂直处理；证明两个平面的法向量相互垂直。使用空间向量寻找空间角度范例6 .矩形ABCD在中，e，f分别是，的中点，球体：(1)另一条线AE和CF生成的角度的馀弦值；(2)二面角c-AE-f的馀弦值大小。分析：可以使用2的立方体长度设置空间正交坐标系，该立方体长度在x、y和z轴上各有一条DA、DC和DD1线，如图所示A (2，0，0)、c (0，2，0)、e (1，0，2)、f (1，1，2)在(1)中另外，也就是说，要求值为。(2) c从m到cmAE，二面角c-AE-f的大小为：m在AE中设置然后，又来了二面角c-AE-f的馀弦值大小为评论：(1)两条相反直线的夹角可以利用这两条直线的方向矢量的夹角来获得。(2)直线和平面形成的拐角主要是直线的方向向量和平面法向向量的夹角，或(3)二面角的大小可以通过二面角的两个面的法线向量的夹角来获得，等于两个法线向量的夹角或其补角。使用空间矢量查找距离范例7 .长方体ABCD在中，AB=4，AD=6，m是A1C1的中点，p位于线段BC上，| CP |=2，q是DD1的中点。(1)异种线AM和PQ的余弦值；(2)M到直线PQ的距离；(3)M到平面AB1P的距离。解决方法：(1)方法1:如图所示，创建空间笛卡尔坐标系b-XYZ包括a (4，0，0)、m (2，3，4)、p (0，4，0)、q (4，6，2)、因此，其他线AM和PQ的馀弦值为方法2:而且，因此，其他线AM和PQ的馀弦值为(2)，投影模型因此，m到PQ的距离为(3)设定为平面的法线向量时。所以这是可取的。因为，那么从点m到平面的距离是而且，因此，m到平面的距离为。注释：这个问题用纯几何方法解决有点困难，所以考虑设置空间笛卡尔坐标系，并使用矢量坐标方法解决。使用矢量的模块和角度查找空间的线段和两条直线的角度在新的高考试题中出现了很多次，但是使用矢量的数倍来查找空间的线和线之间的角度和距离，线和面、面和面之间的角度和距离是不深的关系，随着新教材的推广和使用，这一系列问题将成为高考命题的新热点。为了供参考，列出了几种类型问题的解决方案。(1)平面的法向矢量方法：将n垂直于平面上的两个矢量a，b，将数量乘以0，列出两个三元一次方程，然后合并解决方案集。(2)线面的角度方法：如果将n设定为平面的法线向量，设定为线l的方向向量，则线l与平面角度的正弦值为。(3)二面角方法：如果AB，CD是在二面角的两个面内垂直于棱镜的二面角的话，二面角的大小是。设定二面角、二面角或其补角的两个平面的法线向量。(4)半平面线之间的距离是两条半平面线，n是垂直线段AB的方向向量，c，d是以上两点。(5)点面距离方法：如果将n设定为平面的法线向量，将AB设定为平面的斜线，则点b到平面的距离为。(6)将直线面距离、面距离转换为点面距离，可以通过(5)解决。模拟考试问题1.平行立方体A