江苏启东中学高二数学下学期期中理

1 江苏省启东中学江苏省启东中学 2017-20182017-2018 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷高二理科数学试卷 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 1.函数的导数是 ( )sinf xxx 2.若，则 （用数字作答） 56 nn CC 9 n C 3.设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 3 yaxx(1, )a260 xya 4人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 37 s，黄灯时间为 3 s，绿灯时间为 60 s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 5.函数的单调减区间是 ( )lnf xxx 6.函数的极大值是 3 11 ( )4 33 f xxx 7.将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子 的概率为 8.设函数的导函数为，若，则 ( )f x ( ) fx 3 ( )52(1)f xxxf (3) f 9.用数字 1 到 9 组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一 共有 个 （用数字作答） 10.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 3 ( )27f xxx ,1a aa 11.已知两曲线，相交于点 P，若两曲线在点 P 处( )sinf xax( )2cos ,(, ) 2 g xx x 的切线互相垂直，则实数的值是 a 12.某种圆柱形的饮料罐的容积为 V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小） ，则饮 料罐的底面半径为（用含 V 的代数式表示） 13. 已知直线，分别与直线和曲线交于点 M,N 两点，则线段ym55yx2 x yex MN 长度的最小值是 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有a 2 (0) ( )1 ln(0) x x f xx x x x( )2f xax 2 四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为 a 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 1515 （本小题满分 14 分） 在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数 字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 1616 （本小题满分 14 分） 设关于x的一元二次方程x22axb20，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条 件下，求上述方程有实根的概率 (1)若随机数a，b1,2,3,4,5； (2)若a是从区间0,5中任取的一个数，b是从区间0,4中任取的一个数 3 1717 （本小题满分 14 分） 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.( )ln(2)f xxax(0)f 3 2 (1) 求的极值；( )f x (2) 设，若在(，1上是增函数，求实数 k 的取值范围( )( )g xf xkx( )g x 1818 （本小题满分 16 分） 已知函数x32x23x(xR)的图象为曲线C( )f x 1 3 （1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求在区间上的最值；( )f x1,4 （3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐 标的取值范围 4 1919 （本小题满分 16 分） 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校 友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为 2 百米，圆心角为 的扇形展示区的平面示意图 点C是半径上一点， 点D是圆弧上一点， 3 OB A AB 且为了实现“以展养展” ，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位/CD OAOCCD A DB 置设立广告位，经测算广告位出租收入是： 线段处每百米为元，线段及圆弧处OC2aCD A DB 每百米均为元设弧度，广告位出租的总收入为y元aAODx （1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域 ； （2）试问 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值x 图 19图 图 B D C O A x 2020 （本小题满分 16 分） 已知函数. 21 ( )2ln(R) 2 f xxxax a (1)当时,求函数的单调区间；3a)(xf (2)若函数有两个极值点，且,求证:；)(xf 21 xx ， 10( 1 ，x2ln2 2 3 )()( 21 xfxf (3)设，对于任意时,总存在，使成立,axxfxgln)()()2 , 0(a 2 , 1 x2 ) 2 ()(akxg 求实 数的取值范围k 5 江苏省启东中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷参考答案 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 命题人：龚凯命题人：龚凯 宏宏 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 1.函数的导数是 ( )sinf xxx 答案：sincosxxx 2.若，则 （用数字作答） 56 nn CC 9 n C 答案：55 3.设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 3 yaxx(1, )a260 xya 答案： 1 3 4人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 37 s，黄灯时间为 3 s，绿灯时间为 60 s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 答案： 3 5 5.函数的单调减区间是 ( )lnf xxx 答案： 1 (0, ) e 6.函数的极大值是 3 11 ( )4 33 f xxx 答案：17 3 7.将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子 的概率为 答案： 4 9 8.设函数的导函数为，若，则 ( )f x ( ) fx 3 ( )52(1)f xxxf (3) f 答案：105 9.用数字 1 到 9 组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一 共有 个 （用数字作答） 答案：300 6 10.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 3 ( )27f xxx ,1a aa 答案：( 4, 3)(2,3) 11.已知两曲线，相交于点 P，若两曲线在点 P 处( )sinf xax( )2cos ,(, ) 2 g xx x 的切线互相垂直，则实数的值是 a 答案： 2 3 3 12.某种圆柱形的饮料罐的容积为 V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小） ，则饮 料罐的底面半径为（用含 V 的代数式表示） 答案： 3 2 V 15. 已知直线，分别与直线和曲线交于点 M,N 两点，则线段ym55yx2 x yex MN 长度的最小值是 答案： 96ln2 5 16. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有a 2 (0) ( )1 ln(0) x x f xx x x x( )2f xax 四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为 a 答案： 3 1 (, 1)e e 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 1515 （本小题满分 14 分） 在班级活动中，4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数 字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4 名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 。 43 45 A A 44 44 A A 6115 6555 AA A A 73 73 AA 7 其中（1） 、 （2）每题 3 分；（3） 、 （4）每题 4 分 1616 （本小题满分 14 分） 设关于x的一元二次方程x22axb20，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条 件下，求上述方程有实根的概率 (1)若随机数a，b1,2,3,4,5； (2)若a是从区间0,5中任取的一个数，b是从区间0,4中任取的一个数 解：设事件A为“方程x22axb20 有实根” ， 当a0，b0 时，方程x22axb20 有实根的充要条件为ab.2 分 (1)基本事件共有 25 个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取 值事件A中包含 15 个基本事件，故事件A发生的概率为P(A) 3 5 9 分 (2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a5,0b4 构成事件A的区域为(a，b)|0a5，0b4，ab，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P(A) 2 5 14 分 1717 （本小题满分 14 分） 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.( )ln(2)f xxax(0)f 3 2 (1) 求的极值；( )f x (2) 设，若在(，1上是增函数，求实数 k 的取值范围( )( )g xf xkx( )g x 解：(1) f(x)的定义域是(，2)，f(x)a. 1 x2 2 分 由题知 f(0) a， 1 2 3 2 所以 a2，所以 f(x)2 1 x2 23 2 x x 令 f(x)0，得 x. 3 2 4 分 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (，) 3 2 3 2 (，2) 3 2 f(x) 0 8 f(x) 1 所以 f(x)在 x处取得极大值，无极小值 3 2 3ln2 7 分 (2) g(x)ln(2x)(k2)x， g(x)(k2)， 1 x2 9 分 由题知 g(x)0 在(，1上恒成立， 即 k2 在(，1上恒成立， 1 2x 因为 x1，所以 2x1，所以 01，所以 k1. 1 2x 故实数 k 的取值范围是1，) 14 分 1818 （本小题满分 16 分） 已知函数x32x23x(xR)的图象为曲线C( )f x 1 3 （1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求在区间上的最值；( )f x1,4 （3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐 标的取值范围 解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，2 分 即过曲线C上任意一点切线倾斜角的取值范围是 4 分 3 ,0, 42 （2）的最大值为；的最小值为( )f x 4 (1)(4) 3 ff( )f x 16 ( 1) 3 f 9 分 (3)设曲线C的其中一条切线的斜率为k， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!12 分 解得1k0 或k1， 故由1x24x30 或x24x31， 得x(，2 (1,3)2，) 16 分 22 1919 （本小题满分 16 分） 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校 友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为 2 百米，圆心角为 的扇形展示区的平面示意图 点C是半径上一点， 点D是圆弧上一点， 3 OB A AB 且为了实现“以展养展” ，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位/CD OAOCCD A DB 9 置设立广告位，经测算广告位出租收入是： 线段处每百米为元，线段及圆弧处OC2aCD A DB 每百米均为元设弧度，广告位出租的总收入为y元aAODx （1）求y关于x的函数解析式 ，并指出该函数的定义域； （2）试问 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大 值x 图 19图 图 B D C O A x 【解】 （1）因为，所以，CDOAradODCAODx 在中，百米，OCD 2 3 OCD 3 CODx 2OD 由正弦定理得， 4 24 3 2 sin3 sin()sin 33 OCCD x x 分 得 km，百米5 分 4 3 sin 3 OCx 4 3 sin() 33 CDx 又圆弧长为 百米DB2() 3 x 所以 4 34 3 2sinsin()2() 3333 yaxaxx ，72( 3sincos) 3 axxx (0) 3 x ， 分 （2）记，( )2( 3sincos) 3 f xaxxx 则，8 分( )2( 3cossin1)22cos() 1 6 fxaxxax 令，得 10 分( )0fx 6 x 10 当x变化时，的变化如下表：( )fx( )f x 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值( )f x 6 x 即 14 分( )2( 3) 66 fa 答：（1）y关于x的函数解析式，定义域为 ： ；2( 3sincos) 3 yaxxx (0) 3 ， （2）广告位出租的总收入的最大值为元16 分2( 3) 6 a 2020 （本小题满分 16 分） 已知函数. 21 ( )2ln(R) 2 f xxxax a (1)当时,求函数的单调区间；3a)(xf (2)若函数有两个极值点，且,求证:；)(xf 21 xx ， 10( 1 ，x2ln2 2 3 )()( 21 xfxf (3)设，对于任意时,总存在，使成立,axxfxgln)()()2 , 0(a 2 , 1 x2 ) 2 ()(akxg 求实 数的取值范围k 解：)0( 22 )( 2 x x axx ax x xf (1)当时, 2 分3a x xx x xx xf ) 1)(2(23 )( 2 令或,令,100)(xxf2x210)(xxf 所以的递增区间为和,递减区间为.4 分)(xf) 1 , 0(), 2( )2 , 1 ( (2)由于有两个极值点,)(xf 21,x x 则在上有两个不等的实根,02 2 axx), 0( x 21,x x x (0) 6 ， 6 () 6 3 ， ( )fx 0 ( )f x递增极大值递减 11 7 分 1 2 211 21 21 2 2 22 )10( 0 2 2 08 x x xxa a x a xx axx a ) 2 1 ln2() 2 1 ln2()()( 2 2 221 2 1121 axxxaxxxxfxf )( 2 1 2 1 )ln(ln2 2121 2 2 2 121 xxxxxxxx 2 1 2 11 1 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ln(ln2x xx x 设，) 10(2ln2 2 2 ln4 1