高三数学函数一理人教实验A知识精讲

高三数学函数（一）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数（一）二. 重点、难点：1. 对应、映射一一映射、逆映射2. 定义域（1）分母不为0（2）无意义（3）偶次根式内部非负（4）对数真数大于0（5）对数底数大于0且不等于13. 解析式求法 （1）待定系数法 （2）换元法 （3）方程法4. 值域的求法（1）基本函数法（2）图象法（3）单调性法（4）复合函数（5）分离常数法（6）换元法（7）三角代换（8）判别式（9）导数法【典型例题】例1 求函数的定义域答案： 例2 函数的定义域恰为（）求实数。答案：原题不等式的解为令不等式的解恰为（） 例3 ，求答案：换元法令代回 例4 偶函数，奇函数，且，求答案：方程法 例5 过A（1，4）且，求。答案：待定系数法 例6 求下列函数值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）答案：（1）（2）（3）（4）（5） （6） （7） （8） （9） （10）且 且 且（11）令 （12）令 （13）令 （14） 且 （15） （16）P（）A（5，5）B（0，5） 例7 设A=R，B=R，：是AB的映射。（1）设，则在B中的象是什么？（2）设，若在映射下的象为5，则S应是多少？在映射下的象是什么？解析：（1），而：是AB的映射在B中的象为，即：（2），即是集合A中的元素，且有：又在集合B中的象为5，解得。同理可得s在映射下在集合B中的象是6。例8 已知定义域为R的函数满足（1）若，求；又若，求；（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。解析：（1）因为对任意，有，所以，又由，得，即若，则，即（2）因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意，有，在上式中令，有，又因为，故或若，则，即但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故若，则有，即，易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为例9 已知函数是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数。又知在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为5。（1）证明：；（2）试求的解析式；（3）试求在4，9上的解析式。解析：（1）证明：是以5为周期的周期函数，又是奇函数，（2）当时，由题意，可设由得，解得（3）（）是奇函数， 又是一次函数可设 又 当时，当时， 当时， 当时，当时，例10 设函数在上的最大值为3，求实数。解析： 令，即，得，此时，可知适合题意。 令，即，得，此时对称轴为，开口向下，知适合题意。 令，即，得，此时对称轴为，不适合题意（时，显然不适合题意），故的值为或。例11 已知函数的定义域为R。（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为，求函数的值域。分析：（1）定义域为R，即不等式的解集为R。（2）求y的最小值用一元二次函数求最值的方法。解析：（1）依题意，当时，恒成立当时，；当时，即解之得，故（2）当时，；当时，因此，的值域为评析：本题要注意分类讨论，要分和讨论，求的值域用单调性求。例12 已知函数的值域是，试求函数的定义域和值域。解析：的定义域为R，令，则有由，得，即，且 ，即，恒成立又函数的定义域为R，值域为例13 已知二次函数（是常数且）满足条件：且方程有等根。（1）求的解析式；（2）问是否存在实数（），使的定义域和值域分别为和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解析：（1）依题意，方程有等根，又，（2）的对称轴方程为当时，在上为增函数，设存在，则即又，即存在实数，使的定义域为2，0，值域为4，0例14 对定义域分别是，的函数，规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。（1）（2）当时，若，则，其中等号当x=2时成立，若，则，其中等号当x=0时成立。 函数的值域是（3）解法一：令则于是解法二：令，则于是例15 求下列函数的定义域：（1）；（2）（）解析：（1）由得，即，且所以函数的定义域为（2）由得 当时，函数的定义域为R； 当且时，定义域为； 当且时，定义域为； 当且时，定义域为R。【模拟试题】1. 下列图形中，不可能是函数的图象的是（ ）2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与3. 给出如下三个等式： ； ； ，则不满足其中任何一个等式的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 对于任意的两个实数对（）和（），规定（）=（），当且仅当；运算“”为：，运算“”为：，设，若（1，2）（）=（5，0），则（1，2）（）=（ ） A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，4）5. 已知函数的图象如图所示，那么（ ）A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的定义域为（ ）A.（4，0）（0，4）B.（4，1）（1，4）C.（2，1）（1，2）D.（4，2）（2，4）8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 9. 若从集合P到集合所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有（ ） A. 32个 B. 27个 C. 81个 D. 64个10. 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是（ ）A. A=B=N*，对应法则：B. A=R，B=0，1，对应法则：C. A=B=R，对应法则：D. A=R，B=，对应法则：11. 给出函数，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数满足，则在定义域内（ ） A. 是奇函数且是增函数B. 是奇函数且是减函数C. 是偶函数D. 是增函数，但既非奇函数又非偶函数13. 若函数（，且）的定义域分别为M，N，全集为R，则下列关系式正确的是（ ） A. MN=M B. MN=N C. MN=M D. MN=CRN14. 定义两种运算：，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 15. 设是奇函数，则使的x的取值范围是（ ） A.（1，0） B.（0，1） C.（，0） D.（，0）（1，+）16. 已知函数在R上为奇函数，且当时，则在R上的解析式为（ ）A. B. C. D. 17. 设是定义在R上以6为周期的函数在（0，3）上单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）A. B. C. D. 18. 函数的图象关于（ ）A. x轴成轴对称图形B. y轴成轴对称图形C. 直线y=x成轴对称图形D. 原点成中心对称19. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 20. 若都是奇函数，且在（0，+）上有最大值8，则在（，0）上F（x）有（ ）A. 最小值8 B. 最大值8 C. 最小值6 D. 最小值4 21. 函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 3 22. 函数的最小值是（ ）A. 1 B. 2 C. D. 23. 已知，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 24. 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A.（1，1） B.（0，1） C.（1，0）（0，1） D.（，1）（1，+） 25. 在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间1，2上是减函数，则（ ）A. 在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B. 在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C. 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D. 在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数 26. 对于函数 ； ； ，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在（，2）上是减函数，在（2，+）上是增函数命题丙：在（，+）上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A. B. C. D. 27. 的递增区间为（ ）A.（1，+） B.（3，1） C.（，1） D.（，3） 28. 若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）A.（，2） B.（2，+） C.（，2）（2，+） D.