高中数学 《第三章 三角恒等变换》总结与习题 苏教必修4

三角形常数变形及其应用一、课程要求：1.为了进一步理解矢量法的作用，我们经历了用矢量的乘积推导两个角差的余弦公式的过程。2.两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式，以及两个角的正弦、余弦和正切公式可以从两个角的差的余弦公式中推导出来，以了解它们的内在联系；3.上述公式可用于简单的常数变换(包括导出积和差、和差积和半角公式，但不需要记忆)。二。命题趋势从近年来高考的方向来看，这部分高考试题有更多的选择和回答问题的机会，有时以填空题的形式出现。它们通常与三角函数、解三角形和向量的性质结合在一起。主要问题是三角函数的求值，通过三角变换研究三角函数的性质。这次讲座的内容是高考复习的重点之一。三角函数的简化和求值以及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。在多年的高考中，在观察三角公式的掌握和应用的同时，也注重思维的灵活性和发散性，以及观察、计算和观察、计算和推理以及综合分析的能力。三。要点1.两个角的和与差的三角函数；2.双角度公式；3.三角函数的简化常用方法：直接应用公式进行降阶和消项；(2)切串，同音异义，异角化为同一个角度；(3)三角公式的逆等。(2)简化要求：应获得可获得的值；(2)使三角函数的数量尽可能少；(3)尽量减少物品的数量；(4)尝试从分母中排除三角函数；尝试将三角函数从要打开的方块数中排除。(1)功率降低公式；(2)辅助角度公式,4.三角函数有三种评估方式(1)角度评估：一般来说，给定的角度都是非特殊角度。要观察给定角度和特殊角度之间的关系，用三角变换消除非特殊角度，并转化为特殊角度的三角函数值问题。(2)取值：给出某些角度的三角函数公式的值，求出其他角度的三角函数值。解决问题的关键在于“改变角度”，如等。用包含已知角度的公式来表示得到的角度，在解决问题时注意角度范围的讨论；(3)从给定值寻找角度：本质上，它转化为“给定值的评估”问题。通过将获得的角度的函数值与角度的范围和函数的单调性相结合来找到角度。5.三角形方程的证明(1)根据方程两端的特点，三角恒等式的证明思想是通过三角恒等式变换、乘法简化、左右恒等式等手段，将方程两端的“差”变为“同”。(2)证明三角条件方程的思想是通过观察找到已知条件与待证明方程之间的关系，并通过代换法、参数消去法或分析法进行证明。四.典型案例分析问题1:两个角的和与差的三角函数案例1。众所周知，因为。分析：由于它可以看作是双角度的，所以可以得到以下两个解。解决方案1:从已知的罪sin=1.，cos=0， 2 2得到22个cos科斯. cos 2 cos 2 cos ()=-1代表2-2，那是2co()=-1。解决方案2:获取.3来自从(2)到(4)(4) (3)注释：这个问题是给出一个单角度的三角函数方程，并求出一个复角度的余弦值。用方程求解正弦、余弦、正弦和余弦很容易出错。然而，有四个未知数。显然，前景并不乐观。错误的原因在于没有注意到德备注：(1)本例中的解决方案2比解决方案1简单。一个好的解决方案来自于一个系统结构，它巧妙地掌握知识，从而找到知识的“最近发展区”来解决这个问题。(2)使用三角函数和差角公式的关键是记忆公式。我们不仅要记住公式，还要掌握公式的特点，如角度、时间、三角函数名之间的关系等。掌握公式的结构特征对提高记忆公式的效率起着至关重要的作用。此外，掌握公式的结构特征有助于观察三角函数公式中相似性的结构特征，如解析问题的设置和结论等。解决问题时，关联相应的公式，找到解决问题的突破点。(3)公式与公式的逆，变量形式也应熟悉，如问题2:双角度公式例3。简化以下类型：(1)，(2 ).分析：(1)如果注意到简化公式是平方根和2及其范围，就不难找到解决问题的突破口；(2)由于分子是平方方差，即分母中的角度，如果你注意这两个特征，就不难找到解决问题的起点。分析：(1)因为，因为，因此，原始形式=。(2)原始公式=.备注：(1)在双角度公式中，两个角度的倍数关系不限于两次。我们应该熟悉各种形式的两个角度的多重关系。同时，我们也要注意三个角度的内在联系，这是一个常见的三角变换。(2)要简化一个问题，必须找到一个突破点。其中，减少顺序，消除元，切割字符串，改变名称为同一个名字，改变角落为同一个角度是常用的简化技术。(3)公式变形。如果。分析：对于提到的两个转换，有以下两个解决方案。解决方案1:通过，解决方案2:注释：如果这个问题的左侧被展开，再次找到cosx和sinx的值，这是非常复杂的。注意角度的变化。2使用双角度公式，问题将很难解决，并将被简化。因此，在用条件解决评价问题时，应该善于发现三角函数的角度与已知条件下的角度之间的联系。一般的方法是拼出角度并分割角度。例如，,等等。问题3:辅助角度公式例5。已知正实数a、b满足。分析：从方程的角度来看，如果方程左侧的分子和分母同时除以A，则已知的方程可以转化为一个公式，从而得到该公式。如果注意到方程左侧分子和分母的结构，可以考虑用辅助角来求解。解决方案1:由问题决定解决方案2:解决方案3:注释：在上述解决方案中，方法一使用了集中变量的思想，是一个基本的解决方案。解决方案2通过模式关联引入辅助角度，这更为巧妙，但是辅助角度的公式，或这些年在高考中使用的频率相当高，应该引起注意。解决方案3使用替代方法，但它实际上是对解决方案1和解决方案2的优点的全面理解，因此解决方案3是最好的。例6。已知函数y=cos2x sinxcosx 1，x r。(1)当函数y获得最大值时，寻找自变量x的集合；(2)从y=sinx (x r)的像中可以得到这个函数的像是什么样的平移和展开变换？(原因)(1)分析：y=cos2x sinxcosx 1=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+由y获得的最大值必须且仅需要2x=2k，kZ，即x=k，k z。所以当函数y得到最大值时，独立变量x的集合是x | x=k，k z。(2)函数y=sinx按如下顺序变换：(1)向左移动函数y=sinx的图像以获得函数y=sin (x)的图像；(2)将获得的图像上的每个点的横坐标缩短到原始时间(纵坐标不变)以获得函数y=sin(2x)；(3)将获得的图像上每个点的纵坐标缩短到原始时间(横坐标不变)t(1)当函数y获得最大值时，寻找自变量x的集合；(2)从y=sinx (x r)的像中可以得到这个函数的像是什么样的平移和展开变换？分析：(1)y=sinx cosx=2(sinx cos xsin)=2 sin(x)，xR必须获得y的最大值，并且只有x=2k，kZ，即x=2k，k z。因此，当函数y获得最大值时，独立变量x的集合是x | x=2k，k z(2)转化步骤是：(1)向左移动函数y=sinx的图像以获得函数y=sin (x)的图像；(2)使获得的图像上每个点的横坐标不变，并把纵坐标扩展到原来的两倍，得到函数y=英寸(x)的图像。在这种变换之后，获得函数y=sinx cosx的图像。备注：本课题主要考察三角函数的图像和性质，并利用三角公式进行恒定变形的技巧和计算能力。问题4:三角函数的简化例7。查找sin220 cos250 sin20cos50的值。分析：原公式=(1-cos 40)(1 cos 100)(sin 70-sin 30)=1+(cos100-cos40)+sin70-=-sin70sin30+sin70=-sin70+sin70=.评论：本主题研究三角恒等式和计算能力。例8。已知功能。有待确定的领域；(二)设定第四象限的角度，并计算数值。分析：(一)通过，所以在这个领域里(ii)因为，并且是第四象限的拐角，因此因此。问题5:三角函数评估例9。设f(x)=cos2cos sinrcosx a(其中 0，ar)，f(x)图像y轴右侧第一个高点的横坐标为。求的值；(ii)如果间隔中f(x)的最小值为，则求a的值。分析：(一)根据主题。(二)从(一)可知，因此，在那时，间隔中的最小值是，因此例10。求函数=2的取值范围和最小正周期。分析：y=cos(x)cos(x-)sin2x=cos2xsin2x=2s in(2x)。函数y=cos (x) cos (x-) sin2x的取值范围是-2，2，最小正周期是。问题6:三角函数综合例11。已知向量(一)如果找到(二)中的最大值。分析：(1)；当=1时，有一个最大值。此时，最大值为。备注：本主题主要考察以下知识点：1 .向量被垂直转换成0的数量乘积；2、特殊角度的三角函数值；3.三角函数的基本关系和三角函数的有界性：4.已知向量的坐标表示难度中等，并且需要很少的计算。例12。假设曲线x2sin y2cos=1和X2COS -Y2SIN =1有4个不同的交点。(1)找出的取值范围；(2)证明四个交点是圆的，并求出圆半径的取值范围。分析：(1)求解方程得到；因此，两条已知曲线有四个不同交点的充要条件是，(0)0。(2)如果四个交点的坐标是(xi，yi) (I=1，2，3，4)，那么：xi2 yi2=2cos (2) (I=1，2，3，4)。因此，四个交点是圆的，并且这个圆的半径r是r=cos)。备注：本主题重点考察解方程方法在处理曲线相交时的应用，这也是曲线和方程的基本方法。同时，这个题目也突出了三角不等式的检验。问题7:三角函数的应用例13。有一个半径为R、中心角为60的扇形铁板。下一个内接矩形从该扇形中切割出来，即矩形的每个顶点都在扇形的半径或圆弧上，并且计算该内接矩形的最大面积。分析：从这个话题开始，我们应该解决两个问题。(1)放置内接矩形有两种情况，如图2-19所示，应分别处理。(2)为了找到最大值，我们应该在这里构造一个函数，并说明如何选择便于表