高二数学一：含参不等式及参数问题人教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学专题一：含参不等式及参数问题专题一：含参不等式及参数问题人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 专题一：含参不等式及参数问题 二. 重点、难点： 含参数的不等式有着丰富的内容，解决含参数不等式的问题不仅需要很熟练的运算能 力，而且还需要有明确的数学思想指导，灵活深刻的思维品质。 应注意以下几个问题： 1. 解含有参数的不等式。 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围。 3. 不等式恒成立，能成立，恰成立的问题。 【典型例题典型例题】 例 1 解不等式。0 1 2 x xax 解：解：0) 1( 2 xxax （1）当时， 解为0a0)1 (xx) 1,0(x （2）当时，0a0) 11 ( 2 a x a xx aa 41 2 时，解为), 4 1 (a),0(x 时，解为 4 1 a),2()2,0(x 时，解为) 4 1 ,0(a), 2 411 () 2 411 ,0( a a a a x （3）时， 0a0) 11 ( 2 x a x a x0 41 2 aa 解为：) 2 411 ,0() 2 411 ,( a a a a 例 2 设，其中， n ann xf xxxx ) 1(321 lg)( Ra2n * Nn 为常数。若在（，1）上成立，求的取值范围。n)(xfa 解：解： 依题意： 即0 ) 1(21 n ann xxx 0) 1(21ann xxx 令) 1 () 2 () 1 ( xxx n n nn a ) 1 () 1 ()( xx n n n xg R 上 x n y) 1 ( x n n y) 1 ()(xgy 用心 爱心 专心 （，1） x 2 1 ) 1 ( max n gy （，） 2 1n a a 2 1n 例 3 ，若，09log5log1| xx xA0)2(2| 2 aaxxxBBBA 求的取值范围。a 解：解： 即BABBA09log5log1 xx 0 9 5 log x x 或 1 9 5 0 1 x x 1 9 5 10 x x 5 9 1|xxA 0)2(2 2 aaxx0)2()(axax 2aa1a 时，B：) 1,(a),2(aa BA 5 9 ,( 1 12 5 9 a a a a （舍）1aB ),1(a BA ), 5 1 1 1 5 9 2 a a a a ), 5 1 5 9 ,(a 例 4 已知 x axx xf 2 )( 2 （1）对任意，恒成立，求的范围。),1 x)(xf0a （2）当时，值域为，求。),1 x)(xf),0a 解：解： （1） ),1 x0 2 2 x axx 02 2 axx 设01) 1( 2 ax1) 1()( 2 axx ),1 x3) 1 ()( min ax 03 a3a （2）2 2 )( 2 x a x x axx xf 与不符，舍去0a),1 x3)(xf),0 用心 爱心 专心 ， 0axy x a y)(xfy0) 1 (f3a 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 抛物线的焦点坐标为（ ）)0( 2 aaxy A.（0，） B.（0，） C.（0，） D.（0，） a4 1 a2 1 a4 1 a2 1 2. 不等式的解集为（ ）554135xxxx A. B. C. D. 6|xx65| xx5|xx65| xx 3. 椭圆的两个焦点和中心将两准线的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是 （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 4. 已知，则下面命题成立的是（ ）Rcba, A. B. 22 bcacbaba c b c a C. 且D. ， 33 ba 0ab ba 11 22 ba 0ab ba 11 5. 已知 M（，2），N（2，3）过 P（，1）的直线与线段 MN 总相交，则直线的41 斜率的取值范围是（ ）k A. B. C. D. ), 3 2 3 2 , 3 1 3 1 ,(), 3 2 3 1 ,( 6. 点 M 到点（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，则点 M 的轨迹为（ 05 x ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 7. 设，且，则（ ）Rnm,nm 2 nm A. B. 2 1 22 nm mn 2 1 22 nm mn C. D. 1 2 22 nm mn1 2 22 mn nm 8. 过双曲线的焦点的直线被双曲线所截得的弦长为 8，这样的直线条数为1 164 22 yx （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若 a，b 均为大于 1 的正数，且，则的最大值是（ ）100abba lglg A. 0 B. 1 C. 2 D. 2.5 10. 已知椭圆的右焦点为 F，右准线为 L，则以过 F 的弦 AB 为直径的圆与1 925 22 yx L 的关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三种都不对 11. 设抛物线过 A（0，4）且以 x 轴为准线，则抛物线顶点 M 的轨迹方程为（ ） A. )0,0( 1 164 )2( 22 yx yx 用心 爱心 专心 B. )0,0( 1 164 )2( 22 yx yx C. )0,0( 1 416 )2( 22 yx yx D. （，）1 4 )2( 16 22 yx 0x0y 12. 方程表示的曲线为（ ）143) 1() 1(5 22 yxyx A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 一条直线 二. 填空题： 13. 方程一个根小于 1，另一个根大于 1，则的取值012)12(3 22 kkxkxk 范围是 。 14. 给出下列四个命题： （1）babba （2）方程所表示的曲线为椭圆 2222 )()(ycxycxa2 （3）函数，的最小值是 4 x xy sin 4 sin 2 ,0( x （4）两圆 C1：，C2：的公切线共有 3 条，则错1 22 yx16)4()3( 22 yx 误的命题的序号为 。 15. 已知 P（，）是椭圆上的动点，B（，0），A（3，4），则xy1 36100 22 yx 8 的最小值为 。PBPA54 16. 双曲线的焦点坐标为 。1xy 三. 解答题： 17. 求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为 12 的双曲线方程。1 45 22 yx 18. 已知集合，若，求实) 1(25|xxxA| 2 axaxxxBBA 数 a 的取值范围。 19. 若不等式对满足的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围。) 1(12 2 xmx2m 20. 已知直线：，：，有一动圆 C，它的圆心在曲 1 l0232 yx 2 l0323yx 线上，若圆 C 截所得的弦长为定值 m，试研究此时圆 C 截所得的65) 1( 22 yx 1 l 2 l 弦长是否也为定值。 21. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2003 年度进行一系列的促销活动。 经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用 万元之间满足；与xtx3 成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销售量只能是 1 万件。已知 2003 年生产1t 化妆品的固定投资为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投资 32 万元，当将每件化妆品的售 价定为“年平均成本的 150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销 量相等。 （1）将 2003 年的年利润 y 万元表示为促销费 t 万元的函数； 用心 爱心 专心 （2）该企业 2003 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润是最大？ （注：利润=收入生产成本=促销费） 22. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条准线的方程是，倾角为的1x 4 直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，且线段 AB 的中点坐标是（，），l 2 1 4 1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P、Q 为椭圆 C 上的两点，O 为坐标原点，且满足， 4 322 OQOP 求证：直线 OP 与直线 OQ 斜率之积的绝对值为定值。 OQOP kk 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 选择题： 1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 9. B 10. C 11. D 12. D 二. 填空题： 13. 14. 15. 62 16. 52k)2,2(,)2,2( 三. 解答题： 17. 解： 设双曲线方程为（） 45 22 yx 0 （1）当时， ，01 45 22 yx 5 2 a4 2 b9 2 c ， 双曲线的方程为122 c6c36941 1620 22 yx （2）当时，01 54 22 xy ， 4 2 a5 2 b369 2 c4 双曲线的方程为1 2016 22 xy 综上可得，双曲线的方程为或1 1620 22 yx 1 2016 22 xy 18. 解： 不等式等价于) 1(25xx ) 1(2)5( 01 05 2 xx x x 解得31 x 31|xxA0)(1( |axxxBBA 3a 综上可得),3(a 19. 解： （1）当时，由得01 2 x1x012x 2 1 x 时不等式成立1x （2）当时，使对一切都成立的充要条件01 2 x 1 12 2 x x m 1 12 2 x x m2m 是 。2 1 12 2 x x 即 0122 01 2 2 xx x 2 31 1 x （3）当时，使对一切都成立的充要条件01 2 x 1 12 2 x x m 1 12 2 x x m2m 用心 爱心 专心 是 1 12 2 x x 2 即 解得 0322 01 2 2 xx x 1 2 71 x 综合（1）（2）（3）得 2 31 2 71 x 20. 解： 设动圆 C 的圆心坐标为（，），动圆 C 与相交所截的弦长为，圆心到两直线ab 2 ln 的距离分别为 1 d 由已知得 222 2 222 1 2 1 22 ) 2 ( ) 2 ( 13 323 13 232 65) 1( r n d r m d ba d ba d ba 消去、得 当时，圆 C 与不相交 1 d 2 dr100 22 mn10m 2 l 当时，圆 C 与相切 10m 2 l 当时，圆 C 与相交，弦长为定值10m 2 l100 2 mn 21. 解： （1）由题意得将，代入得 1 3 t k x0t1x2k 1 2 3 t x 1 2 3 t x 从而成本为 32万元。年收入为，故年利3) 1 2 3( t t t2 1 3) 1 2 3(32%150 润为（） ) 1(2 3598 3) 1 2 3(32 2 1 3) 1 2 3(32%150 2 t tt t t t y0t （2） 万元4216250) 1 32 2 1 (50 t t y 当且仅当 即时， 1 32 2 1 t t 7t42 max y 答：当促销费定为 7 万元时，利润最大 22. 解： （1）设椭圆的方程为（）1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 则 ，1 2 c a xca 222 ccb 用心 爱心 专心 故椭圆的方程为1 2 22 cc y c x 设 A（，），B（，）则， 1 x 1 y 2 x 2 y1 2 2 1 2 1 cc y c x 1 2 2 2 2 2 cc y c x 0 )()( 2 21212121 cc yyyy c xxxx 而 且1 21 xx 2 1 21 yy1 21 21 xx yy ，0 2 1 1 2 ccc2 1 c 2 1 2 a 4 1 2 b 故椭圆的方程为1 4 1 2 1 22 yx 即142 22 yx （2）设 P（，），Q（，） 则 3 x 3 y