高三数学解析几何教学中应渗透平面向量方法人教

高三数学解析几何教学中应渗透平面向量法http:/www。DearEDU.com王建华巫山县第三高级中学平面向量是高中数学教材改革中新增的内容之一。它是一个既有大小又有方向的几何量。也就是说，平面向量不仅可以像实数一样运算，而且具有直观的几何意义。它是数与形的有机结合，能灵活实现形与数的相互转化。平面向量理论渗透到解析几何中，通常涉及夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题。其方法是对几何问题进行协调、符号化和量化，从而将推理和解决问题转化为向量运算，并完全转化为代数问题。首先，确定直线的两个重要向量1.直线的方向向量第一亲代P2xOyx我们已经知道两点决定一条直线，直线上任意两点的矢量或与之平行的矢量称为直线的方向矢量。如图1所示，由P1(x1，y1)和P2(x2，y2)确定的直线P1P2的方向矢量是P1P2=(x2 - x1，y2 - y1)。当直线P1P2不垂直于x轴x2x1时，则直线的斜率是图1矢量P1P2也是直线P1P2的方向矢量，其坐标为(x2 - x1，y2 - y1)。也就是说，(1，k)是直线P1P2的方向向量，其中k是直线P1P2的斜率。2.直线的法向量垂直于直线的向量称为直线的法向量。如图2所示，假设直线l具有法向量n=(A，B)并且穿过点P0(xo，yo)。取直线l上的任意点P(x，y ),以满足nP0P，因为p0p=(x-XO，y-yo)是根据垂直矢量的充分必要条件得到的lxPnya(xXO)B(yyo)=0p0蛋白这个二元一阶方程由一条直线lO一点P0(xo，yo)和直线的法向量n=(A，B)图2确定点的法国方程叫做直线。另一方面，如果直线l具有通式AxC=0(A和b不同时为0)，(1)如果A0，则该方程可以简化为A(x ) B(y - 0)=0这是一个点法国直线方程，有一个点(-，0)，法向量n=(A，B)；(2)如果B0，方程可以简化为A(x -0) B(y )=0这是一个点法国直线方程，通过点(0-)，法向量是n=(A，B)。因此，n=(A，B)是直线Ax乘C=0的法向量。让向量a=(-B，A)是A和n的乘积an=-BA AB=0an，向量a=(-B，a)是直线Ax的方向向量，C=0。由于直线的方向矢量和法线矢量可以直接由直线的通式来表示，所以应用这两个重要的矢量来解决一些问题是比较方便的。二、平面向量与直线的位置关系假设直线l1和l2的方程为l1 :A1x B1y C1=0l2 :A2x B2y C2=0则n1=(A1，B1)和n2=(A2，B2)分别是直线l1和l2的法向量。A1=A2B1=B2(1)如果L1L2，则n1N2，并且n1N2的充要条件是n1=n2获取，获取A1B2-A2B1=0，去掉因此，A1B2-A2B1=0是直线L1 L2的一个充要条件。当A2 B20时，它可以表示为，即，相应的坐标是成比例的。如果l1l2，那么n1n2反过来是正确的。n1n2的充要条件是n1n2=0，结果A1 A2 B1 B2=0。因此，直线l1l2的充要条件是A1 A2 B1 B2=0。例1(上海高考卷16，1998)假设A，B，C分别是A，B，和C相对边的边长ABC，则直线sinAx ay c=0和直线bx-sinBy sinC=0之间的位置关系为a平行b重合c垂直d相交但不垂直分析：很容易知道两条直线的法向量是n1=(sinA，a)和n2=(b，-sinB)由正弦定理可知，即bsinA a(-sinB)=0 n1n2=0有n1n2，所以两条直线是垂直的，选择c。(3)更一般地，两条直线之间的角度可以从直线的法向量中找到。如果直线l1和l2之间的角度是，并且其法向量之间的角度是，=或=-，所以cos=|cos|。从矢量角度公式，n1n2=A1 A2 B1 B2，| n1|=，| n2|=(3)如果是钝角x1 x2 y1 y20，那就是ab0因此，两个向量之间的角度范围由它们乘积的正负决定。例3(高考，1994年第8期)设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，满足 F1F2=90，则 F1F2的面积为A 1 B C 2 D分析：F1(-，0)和F2(，0)很容易知道，并且P点的坐标是(xo，yo)。 F1 P=(xo，yo)，F2 P=(xo-，yo)。从F1P F2=90，我们知道F1P F2 P=0(xo )(xo-)=0，即-5=0 另一点P(xo，yo)在双曲线上，有(2)联立方程和可用。 S F1F2=，所以选择a。例4(2000年高考14题)椭圆的焦点是F1和F2，点p是它的前一个移动点。当 f1f2是钝角时，点p的横坐标具有_ _ _ _ _ _的值范围。A=3，b=2，所以c=0。F1(-,0),F2(,0)，设P(x，y)，然后pf1=(-x，y)，pf2=(-x，y)F1P F2 0，以F1P F2为钝角0表示x2 y2-50另一个点P(x，y)在椭圆上，得到2同步(1) (2)-十四、平面向量与解析几何共线问题三点共线性是解析几何中常见的问题之一。用矢量方法解决共线性问题很简单。一般方法是基于向量共线性的充要条件，只要三点中任意两点的向量之间存在多重关系。也就是说，三个点A、B和C共线，只有AB=AC或AB=BC (R)成立。如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在三个点共线，并且(x2 -x1，y2 -y1)=(x3 -x1，y3 -y1)，并且被消除以获得(x2 -x1) (y3 -y1) -(x3 -x1) (y2 -y1)=0，则它由坐标表示或(x3x1，y3 y1)。COBAxy例5(高考，2001年第19期)将抛物线y2=2px(p0)的焦点设为F，通过点F的直线与点A和点B处的抛物线相交，点C在抛物线的准直线上，点BCx轴，验证：直线交流通过原点0F分析：设置A(x1，y1)、B(x2，y2)、F(，0)从BCx轴开始的C(-，y2)图3FA=(x1-，y1)，FB=(x2-，y2)OA=(x1，y1)，OC=(-，y2)* FA和FB共线(x1-)y2 -(x2-)y1=0，x1=，x2=代入上述公式y1 y2=-p2又OA和OC是共线矢量，即a、o和c共线直线AC穿过原点o。例6(2003年全国高考22题)常数a0是已知的。在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，o是AB的中点，点e、f、g分别在BC、CD、DA上移动，p是ge和的交点(如图4所示)。FGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyx询问是否有两个固定点，这样从P到这两个点的距离就是它们的总和。为了固定的价值？如果是，则获得两点的坐标和固定值。P如果没有，请解释原因。分析：设置A (-2，0)，B (2，0)，图4C(2，4a)，D(-2，4a)，P(x，y)。如果F(，4a)是从线OP上的点F得到的，那么CF=2a-.通过获得BE=2 a，所以E(2，2a-)，G(-2，2a)因为g，p和e是共线的减少到2a2x2 y2-2ay=0也就是说，(1)当a2=点P的轨迹是圆弧，所以没有两点符合问题的含义；(2)当a2 时，点P的轨迹是椭圆的一部分，并且从点P到椭圆焦点的距离之和是固定长度：(1)当a2，即0，即a，从点p到椭圆的两个焦点(0，a-)，(0，a)的距离之和是2a的固定长度时。V.解析几何中的平面向量和轨迹问题轨迹问题是近年来高考的热点问题之一。它的本质是找到点的方程式。矢量法求轨迹方程比距离公式简单得多。例7(2000年北京和安徽的春季高考)将点A和点B设置为超过抛物线y2=4px原点的两个移动点(p0)。众所周知，OAOB,OMAB和m点是垂直的脚。找出点M的轨迹方程，并解释它是什么曲线。分析：设M(x，y)，A(p，2pt1)，B(p，2pt2)(其中t1，t2是正参数)，xAMBOyx图5OA=(p，2pt1)，OB=(p，2pt2)AB=(p- p，2pt2- 2pt1)，OM=(x，y)。OAOB OA OB=0也就是说，p2pt1 2pt2=0t1 t2=-4类似地，(p- p)x (2pt2- 2pt1)y=0(t1 t2)x 2y=0同样 a，b和m是共线的在联立方程、和中消除t1和T2导致x2 y2-4px=0因为a和b不是原点，x0。点m的轨迹是一个以(2p，0)为中心，2p为半径的圆，坐标原点被去掉。y例8(1995 NMET 26)如图6所示，椭圆，直线l:p是l上的一个点，射线OP与椭圆在r上相交，点q在OP上，rQQPOx并且当点p在直线上时，具有|OP|OQ|=|OR|2移动时，求q点的轨迹方程。分辨率：设置Q(x，y)，OP=OQ，或=OQ(，为正参数)，图6然后是P(x，y)，R(x，y)。* OP | | OQ |=| OR | 2是|OP|OQ|=|OR|2|OQ|OQ|=2|OQ|2=2P和r分