高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性知识精讲苏教

高二数学函数的定义域和值域，单调性和奇偶性知识精讲苏教版1 .本周教育内容：函数的定义域和值域，单调性和奇偶性2 .教育目标：理解函数的性质，利用函数的性质解决问题。3 .教育重点：函数性质的运用4 .教学难点：对函数性质的理解。学习过程一、知识总结：1 .求函数的解析表达式(1)求函数解析式的一般方法：换元法(注意新元的取法)未定系数法(已知函数类型：一次、二次函数、反比函数等)整体置换(匹配法)结构方程式(例如，参数相互为倒数、已知的f(x )为奇函数、g(x )为偶函数等)(2)求函数的解析式，指定函数的定义域，函数的定义域在取有意义的参数的范围内，同时也要注意变量的实际意义。(3)了解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2 .求函数的定义域在求解析式y=f(x )所表示的函数的定义域的情况下，大多如下如果f(x )为整式，则函数的定义域为实数集r如果f(x )为分数，则函数的定义域为分母不等于0的实集如果f(x )为二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子为0以上的实数集合如果f(x )由几个部分的数学式构成，则函数的定义域是使各部分式具有意义的实数集合如果f(x )是从实际问题抽象化的函数，则函数的定义域应该符合实际问题。3 .求函数值域(最大值)的一般方法：(1)利用基本初等函数的值域(2)分配方法(可转换为二次函数或二次函数的函数)(3)不等式法(利用基本不等式，特别注意类型的函数)(4)函数的单调性：特别引人注目的图像和性质(5)部分式法、判别式法(分式函数)(6)换元法(强制函数)(7)导数法(高次函数)(8)逆函数法(9)数形结合法4 .求函数的单调性(1)定义法：(2)导数法：(3)利用复合函数的单调性：(4)关于函数的单调性，有以下常见结论两个增加(减少)函数之和是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _奇函数在对称的两个区间中具有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _的单调性偶函数在对称的两个区间中具有_的单调性互为逆函数的两个函数在各自的定义域中具有_的单调性(5)求函数单调区间的一般方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等(6)应用：比较大小，证明不等式，求解不等式。5 .函数奇偶校验奇偶校验：定义：注意区间关于原点是否对称，比较f(x )和f(-x )的关系。 f(x) -f(-x)=0 f(x)=f(-x) f(x )是偶函数f(x) f(-x)=0 f(x)=-f(-x) f(x )是奇函数。判别方法：定义法、图像法、复合函数法应用：转换函数值求解。6 .周期性：定义：如果函数f(x )对于定义域中任意x满足： f(x T)=f(x )，则t是函数f(x )的周期。其他：函数f(x )对于定义域内任意的x满足f(x a)=f(x-a )时，2a成为函数f(x )的周期.应用：求出函数值和某区间的函数解析式。二、典型例题分析例1 .集合A=a1，a2，a3，B=b1，b2求出从集合a到集合b映射的个数。分析：为了解决这样的问题，把握地图的概念是很重要的：把a，b作为两个集合，对于集合a的任何要素，根据某个对应规则f，集合b中唯一决定的要素及其对应时，把对应规则f称为集合a到集合b的地图。 在这里要掌握重要的两个词“什么都”和“唯一”。 在该例中，集合A=a1，a2，a3的各要素的图像有b1或b2这两个，根据乘法原理可知，从a到b的映射数为N=222=8个。例2 .设线段|BC|=4、BC中点为m、点a与b、c这2点的距离之和为6，设|AM|=y、|AB|=x，求出y=f(x )的函数式和该函数的定义域。解：如果1若a、b、c这3点不是共线，则如图所示，由馀弦定理可知x2=22 y2-4ycosAMB (6-x)2=22y2-4ycos(180-873amb)x2(6-x)2=2y288756； y2=x2-6x14此外，x2-6x 14=(x-3)2 5恒正，_另外，三点a、b、c可以构成三角形1x52如果三点a、b、c是共通线的话，从问题的意思可以看出x 4=6-x，x=1或4 6-x=x x=5综上所述说明：首先，分析三点a、b、c是否在同一条直线上，在问题的意义上，a、b、c未必能构成三角形，它们也在同一条直线上，因此分为两种情况进行讨论。 第二，实际问题是求解式时特别注意函数的定义域。示例3 .当f(x )为在r上定义的偶函数且x-801时，y=f(x )的图像为通过点(-2，0 )，倾斜度为1的辐射线。此外，y=f(x )的图像的一部分为顶点为(0，2 )，通过点(-1，1 )的抛物线，并且写出函数f(x )的公式，在该图中对其进行描绘。解： (1)x-1时，设f(x)=x b2222222222222222222222222222222652如果(2)10，b0)是奇函数，则如果x0，则f(x )具有最小值2，其中bN，f(1)(1)求出函数f(x )的解析式(2)询问在函数f(x )图像上是否存在关于点(1，0 )对称的2点，如果存在则求出点的坐标而不存在，说明理由解： (1)f(x )是奇函数f(-x)=-f(x )，即c=0，a 0，b0，x0，f(x)=2仅在x=时等号成立，因此2=2， a=b2f(1) 即，2b2-5b 20，解b2，另外bN， b=1， a=1， f(x)=x(2)假定一点(x0，y0)存在于y=f(x )的图像上，并且关于(1，0 )的对称点(2-x0，-y0)也存在于y=f(x )的图像上y0取消取得x02-2x0-1=0、x0=1在y=f(x )图像上，两点(1，2 )、(1-2 )关于(1，0 )对称例10 .奇函数f(x )的定义域是r，f(x )是向0，)增加的函数，知道实数m是否存在，使f(cos2-3) f(4m-2mcos)f(0)对于所有的0，成立？ 如果存在，则求出满足条件的所有实数m的范围，如果不存在，则说明理由解： f(x )为r上的奇函数，0，)以上为增函数，8756； f(x )是r上的增函数，不等式可以等价地变换为f(cos2-3)f(2mcos-4m )即cos2-32mcos-4m，即cos2-mcos 2m-20如果t=cos，则问题被等效地转换成函数g(t)=t2-mt 2m-2=(t-)2- 2m-2在 0，1 处的值总是为正，且函数g(t )在 0，1 处的最小值为正g(0)=2m-20m1与m0不一致0-1时，即0m2时，g(m)=- 2m-20在4-21即m2情况下，g(1)=m-10m1 m2综上所述，符合主题的要求的m值存在，其可取值的范围为m4-2另外，法(仅在m解开的情况下) cos2-mcos 2m-20相对于0，始终成立相当于m(2-cos2)/(2-cos)相对于0，始终成立在0，的情况下，(2-cos2)/(2-cos) 4-2m4-2例如，将a设为实数，将标记函数f(x)=a的最大值设为g(a )。(1)求出t=，t的能够取得的范围，求出将f(x )表示为t的函数m(t )(2)求2)g(a )求出满足(g(a)=g ()的所有实数a。解： (1)t=要使t具有意义，必须是1-x0且1-x0，即-1x1T2=2 2，4 ，t0 t可取值的范围从、2到=x2-1m(t)=a(t2-1) t=at2 t-a，t2 (2)根据问题，认知g(a )是函数m(t)=at2 t-a，t，2的最大值。关注直线t=-是抛物线m(t)=at2 t-a对称轴，进行如下研究.当满足1a0时，函数y=m(t )，t2的图像是开口上的抛物线的一部分，并且m(t )从t=-0单调地增加到，2 g(a)=m(2)=a 2.a=0时，m(t)=t，t，2g(a)=2当为3a0时，函数y=m(t )，t2 的图像是开口向下的抛物线的一部分t=-0，即a-，g (a )=m ()t=-，(2)，也就是说，如果有a，则g(a)=m(-)=-a-。t=-0，即有a时，g(a)=m(2)=a 2。g(a)=(3)在a -情况下，g(a)=a 2因为当时是-a，所以因此，在a-情况下，g(a)=2=.在a0