高二数学分类计数原理与分步计数原理例题解析人教

高二数学中分类计数原理和步长计数原理例析首先，本周的教学内容：分类计数原则和分步计数原则二。重点和难点焦点：1.分类和计数的原理有一个作用。有N种方法来完成它。第一种有m1种不同的方法，n种有mn种不同的方法，然后是M1.多种不同的方法来完成它。2.分步计数原理有一个作用。为了完成它，它需要分成N个步骤。第一步有m1种不同的方法，和mn不同的方法，所以有M1 m2.完成这件事的不同方法。3.分类计数原理和分步计数原理的应用。困难：1.分类计数原则与阶梯计数原则的区别与联系两个基本原则的区别分类计数原理(加法)分步计数原理(乘法)差异一一旦实现了每种类型的一个方法，它就可以独立完成，并且每种方法都是最终的结果。没有一种方法能独立完成这件事。每种方法都获得中间结果。只有在每一步完成后，这件事才能完成。差异2各种方法是相互排斥、平行和独立的。这些步骤是相互关联的2.分类计数原理和步进计数原理的应用典型例子例1。找出下列集合中的元素数量。(1)M=(x，y)|x，yN，x+y6 (2)H=x，y|x，yN，1x4，1y5解决方法：(1)分为5类：(1)X=1，Y有5种方法；(ii) x=2，y有4种方法；(iii) x=3，y有3种方法；(iv) x=4，y有2种方法；(v) x=5，y只有一个选择。所以m有5 4 3 2 1=15个元素。(2)分为两个步骤：(1)首先选择X，有4种可能；(ii)y有五种重选的可能性。根据乘法原理，h有45=20个元素。例2。(1)假设a=a，B，c，d，e，f，B(x，y，z)，从a到B有多少不同的映射？(2)有多少种方法可以将6个人分成3个车间？(3)有多少不同的计划让6个人种3棵树，每个人种1棵树？解决方案：(1)它分为6个步骤：首先有3种选择图像A的可能性，其次有3种选择图像B的可能性，根据乘法原理，有36=729个不同的映射。(2)将上述(1)中的6人一组作为A，将上述(2)中的3个车间一组作为B。因此，问题被转化为映射问题。如上所述，共有729项计划。(3)排列第一棵树有六种可能性，也就是说，六种可能性中的任何一种都可以做到。有5种可能性来安排第二棵树，4种可能性来安排第三棵树。仍然有3个人可以参与种植这3棵树中的任何一棵树，所以有33种可能性。请求总数为65433=3240。注意：(一)这个例子表明许多问题可以转化为映射问题。(ii)如果集合a具有n个元素，集合b具有m个元素，则存在从a到b的mn个映射。例3。用六个数字0，1，2，3，4，5，(1)可以形成多少个不重复的三位数？(2)可以形成多少个数字来允许重复的三位数？(3)有多少个数字可以组成一个不能重复的三位数的奇数？(4)有多少小于1000的自然数可以不重复地形成？(5)可以形成多少个大于3000但小于5421的四位数？解决方案：(1)分为三个步骤：(1)首先选择100位数字。由于0不能用作100位数，因此有五种选择。(ii)有五种选择十位数的方法；(三)选择单个数字有四种方法。根据乘法原理，得到554=100个不同的三位数。(2)有三个步骤：(1)有五种方法选择100位数字；(二)10位数的6位数选择法；(三)选择单个数字有六种方法。总共有566=180位数字。(3)分为三个步骤：(1)先选择一个数字，有三种选择方法；(二)有四种方法可以再次选择100位数字；(三)十位数也是四种选择。有344=48个三位数的奇数。(4)可分为三类：(1)一位数字，共5位数字；两位数，55=25；(三)三位数总计554=100。因此，有5 25 100=130个小于1000的自然数。(5)分为四类：(1)当千位数为3、4之一时，有2543=120；(ii)当千位数为5且百位数为0，1，2，3，443=48之一时；(iii)当千位数为5，百位数为4，十位数为0和1之一时，有23=6；(iv) 5420也是完整条件。因此，有120 48 6 1=175个自然数。注：排列数字的问题是最常见的排列和组合问题。应该特别注意第一个位置不能是0。例4。(天津，2003)一个城市在中央广场建了一个花坛，分为六个部分(如图所示)。目前，将种植4种不同颜色的花。每一部分种植一种花，相邻部分不能种植相同颜色的花。有多少种不同的种植方法(用数字回答)。第一步是先涂中间，有4种方法；第二步是画外围：要对相关区域进行分类，最好先画2号和5号区域。如果2号和5号颜色相同，则有3种方法涂覆2号和5号区域，2种方法涂覆6号区域，2种方法涂覆3号区域，1种方法涂覆4号区域，3221=12种方法。如果2号和5号为不同颜色，则有6种方法涂覆2号和5号区域，1种方法涂覆6号区域，2种类型涂覆3号区域：如果3号和5号为相同颜色，则有1种方法涂覆3号区域，2种方法涂覆4号区域；如果3号和5号是不同的颜色，则有1种方法涂覆3号区域和1种方法涂覆4号区域，此时有61(2111)=18种，总方法为1218=30种。问题解决方案1.分类和计数的原则，我们应该注意以下三点：明确“一件事”是什么意思。也就是说，知道做“一件事”或完成“一件事”在每个问题中都有明确的指示。(2)用加法原理解决“分类”问题。需要分类的事件可以称为“独立事件”，也就是说，完成事件可以独立完成，而无需经过路线A和路线B。每种方法都可以完成此事。注意各种方法的独立性和并列性。否则，如果不独立就会有重复，如果不平行就会有遗漏。(3)在每个问题中，标准不同，分类也不同。分类的基本要求是，每种方法必须属于某一个类别(不漏)，任何不同类别的两种方法都是不同的方法(不重复)。2.分步计数原则，注意以下三点：(1)明确完成一个事件的含义，即知道在每个问题中完成一个事件需要哪些步骤。(2)“逐步”使用乘法原理，需要分成几个步骤。每一步都是在事件完成之前完成的。这可以称为“相关事件”。注意步骤之间的连续性。(3)在每个问题上，标准是不同的，一步一步也是不同的。循序渐进的基本要求是：首先，要完成一项任务，必须而且只需要连续完成几个步骤，既不能遗漏步骤，也不能重复步骤；第二，两步方法是不相关的，并不断地相互替代。两个基本原理的区别在于前者每次都获得最终结果加法原理，而后者每次都获得中间结果的乘法原理一、选择题1.礼堂有四扇门。如果你从一扇门进入，然后从另一扇门出去，有不同的方法A.公元前4年7月12日至16年2.产品扩展后的项目数为()A.n m kb.nmkc.2n 2m 2kd.n 10 m 10 k3.将集合1，2，3和1，4，5，6中的每个元素作为点的坐标，可以在直角坐标系中确定不同点的数量()。A.公元前24年至23年4.集合A=1，2，3，4，B=A，B，C，D，e，那么从集合A到集合B的映射数是A.B4 c . 5d . 45.如果-2，-1，0，b 0，1，2，3，c 4，5，则等式(x-a)表明不同的圆有()。A.公元前24年8月16日至36年6.3封信分成4个不同的邮箱，不同的邮件方式有()A.12种，81种，64种，以上均无7.一共有3张卡片，分别写着1和2，3和5，7和8。将三张卡片A、B和C按顺序排列(A在左边，C在右边)，可以得到多少不同的3位数？A.公元前12世纪36年24世纪20年代8.如果、和，则有序自然数对(x，y)有()。A.公元前14年13月12日9.从 1 3，-2，-1，0，1，2，3，取任意3个不同的数作为抛物方程的系数。如果抛物线穿过原点，顶点在第一象限，那么就有()这样的抛物线。A.公元前7年8月9日至10年10.一名电脑用户计划购买60元至70元的单片机软件和盒装磁盘，单价不超过500元。根据需要，将以不同方式购买至少3件软件和至少2盒磁盘()。A.公元前5年6月7日至8日第二，填空11.五名学生选择学习英语或俄语，其中四名学习英语，三名学习俄语，因此选择一名学习英语或俄语的学生人数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12.如果一个人想从一楼走到六楼，众所周知每层楼都有两个楼梯，或者他可以乘电梯从一楼到七楼，然后到六楼，那么他有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _种不同的方式。13.可由数字0，1，2，3，4组成的三位偶数的个数是_ _ _ _ _ _ _ _(数字不能重复)。三。回答问题14.众所周知，P=，Q=，如果A，A和B各包含3个元素，那么A和B有多少对？15.假设A=1，2，3，100，从A中选择3个不同的数作为等差数列，最多可以形成多少个这样的等差数列？16.一楼有6本不同的数学书，二楼有6本不同的语文书，三楼有5本不同的英语书。(1)从这些书中选择一本书有多少种不同的方法？(2)从这些书中选择一本数学书、一本语言书和一本英语书有多少种不同的方法？(3)从这些书中拿出3本书，在书架上按顺序排列。有多少种不同的安排？17.用0，1，2，3，4，5和6组成四位数字，不重复数字，其中有多少数字大于2，400？18.整数75，600有多少个正整数因子，有多少个奇数因子？参考答案一、选择题1.d可以分两步完成。第一步：是从四扇门中的任何一扇门进入，有四种不同的行走方式；在第二步：中，从4扇门中选择l扇门，有4种不同的行走方式。根据步数计算原理，应选择44=16种行走方式。2.B3.d首先用3种方法取出1，2，3中的一个元素，然后用4种方法取出1，4，5，6中的一个元素，用2种方法取出两个数作为点的坐标，然后(1，1)计算两次，所以342-1=23种不同的方法可以用来确定23个不同的点。4.根据映射的定义，元素1有5种图像，元素2有5种图像，元素3有5种图像，元素4有5种图像。根据逐步计数的原理，从A到B的映射数是n=5555=5。5.由A确定圆的等式可以分为三个步骤：第一步是确定甲有三种不同的选择方法，第二步是确定乙有四种不同的选择方法，第三步是确定丙有两种不同的选择方法。根据步数计算原理，342=24个不同的圆。6.每个字母有4种方法，n=444=64种方法。7.有三种方法来放置卡：ABC。ACB和BAC。当根据ABC放置时，有2种A、2种B和2种C，具有222个222=24个不同的三位数。8.a当x=1，2，3，4，5时，y值分别为5，4，3，2，1。根据分类和计数的原则，有5 4 3 2 1=15。9.因为抛物线穿过原点，所以c=o，因此知道c只有一个值。因为抛物线的顶点在第一象限，所以满足顶点坐标，从C=O，a0.b0被代入溶液，所以A -2，-3，-1b 1，2，3，因此所需的抛物线数量可以由a，b，c :的值确定。在第一步中有三种方法来确定a的值；第二步是确定B值，有3种方法；第三部分确定了C值，并有一种选择方法。基于逐步计数的原理，331=9个不同的抛物线。10.方法1:根据问题的含义，根据要购买的盒式磁盘的数量，有三种类型。购买4个磁盘时，只有一种类型。购买3盒磁盘时，有2种软件：3件或4件。购买2盒磁盘时，你可以购买3、4、5或6件软件，有4种。因此，有1 2 4=7个不同的选项。方法二：第一，买3个软件，2盒磁盘，一共320元，还有180元。根据不再购买磁盘的类别3、另一盒磁盘和另2盒磁盘，模拟方法1显示了对c的选择.第二，填空11.512.34.22222+2=34。13.30三。回答问题14.