湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校学年高一数学4月联考试题 (2)

湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2018-2019学年高一4月联考数学试题总分：150分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共102小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算，直接可写出结果.【详解】因为集合，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.若直线与直线互相垂直,则等于( )A. 1B. -1C. 1D. -2【答案】C【解析】【分析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可【详解】解：当时，利用直线的方程分别化为：，此时两条直线相互垂直如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；，当时，此两条直线的斜率分别为，两条直线相互垂直， ，化为，综上可知：故选：【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题3.设，则的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，所以考点：本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解能力.点评：对于分段函数求值问题，只要将未知数分别代入各自的表达式中即可.4.P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（ ）A. 1B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先确定点在圆外，因此圆上的点到点的距离的最小值即等于圆心与的距离减去半径，进而可得出结果.【详解】因为在圆外，且圆心与的距离等于，又P为圆上任一点，所以P与点的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为.故选B【点睛】本题主要考查定点到圆上的动点的距离问题，结合圆的的性质以及点到直线距离公式即可求解，属于基础题型.5.函数的零点所在的大致区间是( )A. （1,2）B. （e，3）C. （2，e）D. （e，+）【答案】C【解析】解：函数的定义域为：（0，+），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点又f(2)=ln2-1 =ln2-10，f(e)=lne-2e =1-2e 0，f（2）f（e）0，函数f（x）=Inx-2x 的零点所在的大致区间是（2，e）故选C6.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：；其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定与性质可判断；利用线面、面面平行与垂直的判定与性质可判断；利用线面、面面垂直的判定与性质可判断；利用线面、面面平行与垂直的判定与性质可判断.【详解】中，因为直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以；故正确；中，因为直线平面，所以或，又直线平面，所以与可能平行、重合或异面，故错；因为直线平面，所以平面，又直线平面，所以，故正确；中，因为直线平面，所以或，又直线平面，所以与平行或相交，所以错；故选A【点睛】本题主要考查线面、面面平行或垂直的判定与性质，熟记定理即可，属于常考题型.7.设，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题中条件分别判断出的范围，进而可得出结果.【详解】因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，熟记性质即可比较大小，属于基础题型.8.在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由频率分布直方图得到成绩在内的频率，然后用50乘以两组的频率和可得该班在这次百米测试中成绩良好的人数；【详解】由频率分布直方图知，成绩在内的频率为： ，所以，成绩在内的人数为： （人），所以该班成绩良好的人数为11人故选D.【点睛】本题考查了频率分布直方图计算频数，属基础题.9.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，A90，且BC1AC，过C1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）A. 直线AC上B. 直线AB上C. 直线BC上D. ABC内部【答案】B【解析】试题分析：作，因为A90，且BC1AC，所以AC平面 ，所以平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上考点：线面垂直的判定和性质10.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）A. 万件B. 万件C. 万件D. 万件【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，结合利润收入成本，列出利润的表达式，再由配方法即可得出结果.【详解】由题意可得，获得最大利润时的收入是万元，成本是，所以此时的利润为，当且仅当时，取最大值.故选B【点睛】本题主要考查函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型.11.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件的总数，再求出两人“心有灵犀”所包含的基本事件个数，进而可求出结果.【详解】先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，所以基本事件总数为；因为，就称甲乙“心有灵犀”，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：，共16个基本事件，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为.故选D【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.12.定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则 ( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，则方程可化为，因此原方程有5个不同实数解转化为与直线共有5个交点，结合函数的图像，可求出的范围，再由函数的对称性，即可得出结果.【详解】令，则方程可化为，因为关于的方程恰有5个不同的实数解，由 的图像可知，与直线最多有3个交点，所以关于关于的方程有两个不等式实根，不妨令与曲线有三个交点，则与曲线有两个交点，因此，；又因为关于直线对称，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查函数零点问题，方程的根可转化曲线的交点，根据数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.求函数y= 的定义域.【答案】x| x2【解析】试题分析：因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点.解对数不等式时不仅要注意不等号的方向，而且要注意真数大于零这一隐含条件.考点：解对数不等式14.函数 且的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则_【答案】27【解析】试题分析：利用y=loga1=0可得定点P，代入幂函数f（x）=x即可解：对于函数y=loga（x1）+8，令x1=1，解得x=2，此时y=8，因此函数y=loga（x1）+8的图象恒过定点P（2，8）设幂函数f（x）=x，P在幂函数f（x）的图象上，8=2，解得=3f（x）=x3f（3）=33=27故答案为27考点：对数函数的图象与性质15.若曲线与直线相交于A，B两点，若AB|=,则=_.【答案】【解析】【分析】先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列方程求解，即可得出结果.【详解】因为圆的半径为又弦长，所以圆心到直线的距离为；又由点到直线的距离公式可得，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及直线与圆相交的问题，熟记弦长公式以及点到直线的距离公式即可，属于基础题型.16.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_.【答案】【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则平面ABC，延长交球于点D，则平面ABC.，高，是边长为1的正三角形，.考点：棱锥的体积.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17.计算（1）；（2）【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】由对数的运算法则以及指数幂的运算，即可求出结果.【详解】（1）；（2）【点睛】本题主要考查对数运算以及指数幂运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18.已知全集U=R，集合 .（）求集合；（）若，求实数a的取值范围【答案】（）（0,6）（）.【解析】【分析】（）由x26x0，得P=x|x0或x6，由此能求出CUP（）由CUP=x|0x6M=x|ax2a+4，MUP，得到当M=时，a2a+4，当M时，a4，且0a2a+46，由此能求出a的取值范围【详解】（1）由得所以P= =（0,6）（2）当时，符合题意当时，且，解得 综上：的取值范围为【点睛】本题考查补集的求法，考查实数取值范围的求法，考查补集、子集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19. 如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同（）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；（）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率【答案】（1） x=7；（2）【解析】试题分析：（）中位数是数据由小到大排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数（）考查的是古典概型概率，求解时需要找到所有基本事件总数种与满足题意要求的基本事件种数共7中，所以概率为试题解析：（）甲班学生成绩的中位数为乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7； 4分（）用A表示事件“甲班至多有1人入选”设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况， 8分其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种 10分由古典概型概率计算公式可得P（A）= 12分考点：1中位数；2古典概型概率20.如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.(1) 求证:. (2) 求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出；（2）先求出到平面的距离，再由三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】(1) 因为,所以且,所以平面.又平面,所以. (2) 因为,平面平面,平面平面, 平面,所以平面.又, 是的中点,所以,到平面的距离为,又. 所以 .【点睛】本题主要考查线线垂直以及三棱锥的体积公式，由线面垂直的判定定理即可证明线线垂直；熟记棱锥体积公式即可求出体积，属于常考题型.21.已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。【答案】（）（）见解析（）【解析】（1），设圆的方程是令，得；令，得，即：的面积为定值（2）垂直平分线段，直线的方程是，解得：当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍