江苏无锡八士中学数列求和的教学设计

江苏省无锡市八士中学数列求和的教学设计教学目的：能够利用“公式法”（等差，等比数列的前n项和公式，自然数的方幂和公式），“分解求和法”，“裂项求和法”等通项化归求和的常用方法，求一些特殊数列的和。教学难点：运用化归思想分析问题和解决问题。教学过程：一、复习提问： 师：说出等差数列的前n项和公式？生： ， （教师板书）师：说出等比数列的前n项和公式？ 生： , (教师板书)师：条件q=1时，前n项和怎样计算？生：Sn=na1二、讲解新课：师：今天我们将继续学习数列的求和问题。（板书课题：数列求和）下面请同学们先看例1。（出示投影）例1（1）求和： （新教材P127，例3） （2）求和： 师：请同学们观察（1）是否是等差数列或等比数列？ （估计学生会用等差，等比数列的定义来判断）生：否。师：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征？生：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。 （1）当x0, x1, y1时 原式= =（以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整）师：题中附加条件去掉，应该如何考虑？请同学们课后思考。师：下面我们一起来研究（2）由上题启发，对于一个数列的一项可分成若干项，使其重新组合成等差或等比，那么本小题又是怎样来解呢？（学生相互讨论，老师巡视，启发学生）师：我们可否通过对通项进行变形呢？从而转化为等差或等比数列？ 生：(2) 令k=1，2，3，n则：, , 引导学生自己归纳解法特点，养成学生解题后思考的良好习惯师：这类数列的求和法叫分解求和法，基本方法是根据数列的通项公式，将原数列分解为两个或两个以上的基本数列，然后再分别求和， 例2（1）求和： （2）求和： 师：将各项分母通分，显然是行不通的，能否通过通项的特点，将每一项拆成两项的差，使它们之间能互相抵消许多。生：（1） 令k=1，2，3， n ，所以原式=师：请看第（2）小题，此题形式与第（1）小题相仿，哪位同学能大胆地试一试。生：（2）（此步骤一开始学生会仿照上题将通项裂开，未考虑到令k=1，2，3， n 系数，经启发可得出） 则原式= =（做到此处，学生会发现与上题不同，互相抵消的项不在前后项，此时，教师应耐心地分析各项间的关系，可以假设n=6, n=7时的情形，得出一般规律） 原式=师：这类数列求和的方法叫裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时中间各项相互抵消。上例中，两个小题贯彻由浅入深的原则讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果例3：求数列：1，的前n项和。（启发学生，根据例1、例2的方法解决）师：例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。那么例3是否也可用同样的方法呢？例3中的通项是什么呢？生： =师：在求数列的前n项和时，往往需要先将通项公式进行变形，然后再求和。 例4：已知数列an的前n项和为Sn=n2+2n，求和： 师：由例3可知，此题也应把通项公式求出来，才能解决问题，请同学们考虑，通项公式的求法。（稍作停止，让学生回忆求通项的方法）生：当n2时, an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2+2(n-1) =n2+2n-(n2-2n+1+2n-2) =2n+1a1=S1=12+21=3 满足上式.an的通项公式为an= =2n+1师：很好！那么有了数列的通项公式，这个问题就可以解决了。生：原式= = = =三、小结归纳： 师：非等差（比）的特殊数列求和法。1、设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法来完成。2、不能转化为等差（比）的特殊数列，往往通过裂项相消法求和。四、课堂练习： 1、求和： 2、求和： 3、求和： 4、数列an的前n项和为Sn=n2, 求 （以上练习完全与例题相仿，对所学知识加以巩固）五、作业： 1、求数列：1，1+2，1+2+3，（1+2+3+n）的前n项的和。2、求数列：1，1+2，1+2+22，,(1+2+22+2n-1)的前n项的和。3、求数列：1，1+a, 1+a+a2, (1+a+a2+an-1)的前n项的和.4、求数列：9，99，999，9999，的前n项和。教案说明（1）本节课的教学内容在现行高中新教材中，所占篇幅极小，只通过一个例题,一个练习，一个习题反映这一内容，但其重要性却不容忽视，首先如等差数列前N项和公式的是用“逆序相加法”，等比数列的前N项和公式的推导是用“错位相减法”。这些求和的方法本身在教材中有所体现，只是没有系统安排，其次，在实际应用中，会经常碰到非等差（等比）数列的求和问题，此外，对今后学习数列的极限打好基础。（2）一节课的素材虽然准备得很充分，但若搭配布局安排不当，就可能降低学生对所教内容的理解水平，不能充分发挥教材在培养学生思维品质方面的作用，因此，在设计教案时应重视一节课各部分，各环节间相互联系的功能所形成的最佳结构。本节课是非等差（等比）的特殊数列求和的第一节课，安排了四个例题，四个课堂练习和四个课外作业题，例题和习题的安排上贯彻了由浅入深的原则，例1是用“分解求和法”来解的，例2是“裂项求和法”解题，这两种方法都用了通项化归的数学思想方法，例3、例4是在例1、例2的基础上作了一些引伸。在有了通项化归这种思想后，例3、例4就显得很容易了，此外课堂练习，基本与例题相仿，作为巩固练习。而作业题中，有一点难度，让学生课余进行思考。（3）利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。（4