江苏昆山高二数学上学期期中

江苏省昆山市2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知倾斜角为90的直线经过点A(2m,3)，B(2，1)，则m的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可.【详解】倾斜角为90的直线经过点，解得，故答案为1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题2.已知直线和直线平行，则的值为_【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.【详解】由题意得，所以，（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为_【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为.【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_【答案】【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是_【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_【答案】8【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则，因为点为AB中点,所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体中，四面体D 的体积等于_【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即.【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时BD,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB的最大值【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mxym+3=0，即 m（x1）y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|=sin，|PB|=cos|PA|0且|PB|0，可得0，|PA|+|PB|=sin+cos=2sin+cos）=2sin（+），0，+，当+=时，2sin（+）取得最大值为 2，故答案为：2【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题11.关于异面直线，有下列四个命题过直线有且只有一个平面，使得 过直线有且只有一个平面，使得在空间存在平面，使得， 在空间不存在平面，使得，其中，一定正确的是_【答案】【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确，举反例说明命题错误.【详解】过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，故过直线有且只有一个平面，使得；当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以错；过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，过直线上任一点Q作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得， ，即得，；若，则,与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设P(x，y)，sinOPAsin30，则x2y24.又P在圆M上，则(xa)2(ya4)21.由得13，所以a. 13.已知P为平面内一点，且，若，则点P的横坐标等于_【答案】【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若实数：满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为，所以在单位圆上，且因为，所以，因为 ,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以 (3) 设所求方程为因为过点，所以 【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（1）试用表示圆柱的高（2）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1）（2）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱中，点D为AB中点，若,求证：（1） （2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于，连接DE,因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（2）因为四边形为矩形，所以,又,所以,因为所以，因为四边形为矩形，所以四边形为正方形，,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形为正方形，为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（）求证：；（）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（）由为正方形，可得再由线面平行的判定可得平面.再由面面平行的性质可得；（）由为正方形，可得结合面面垂直的性质可得平面从而得到.再由已知证得由线面垂直的判定可得平面；（）由（）知，利用等积法把用表示，则的值可求【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（III）解：由（）知， 则 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19.如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点。设，（1）若，求出、两点坐标（2）当直线绕点转动时，试探究是否为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)设Q坐标表示A点坐标，代入圆方程解得Q坐标，即得直线AB方程，与圆方程联立解得A,B坐标，(2) 设Q坐标表示A、B点坐标，代入圆方程，化简可得.【详解】（1）设，因为，所以，所以，因此，由得（2）设,因为，所以因此，【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20.如图，已知圆和圆（1）求两圆所有公切线的斜率（2）设为平面上一点，满足：若存在点的无穷多条直线与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标【答案】(1) 或或，(2) 【解析】【分析】（1）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（2）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，