（江苏专用）2013年高考数学二轮复习 （数学思想方法部分）专题5 常用的解题方法学案

专题5常用的解题方法在考试说明中要求学生能够灵活运用所学的数学知识、思想方法，解决实际问题.纵观近五年高考对数学方法的考查是灵活多样的，总体上说有下列一些数学方法常被考到：数形结合法、换元法(代数换元、三角换元等)、反证法、特殊值法、待定系数法、配方法等.1(2012苏北四市)若斜率为1的直线l与圆x2y22相切，则l的方程为_(待定系数法)解析：设直线的方程为yxa，此直线和圆相切，则，得a2.答案：xy202已知f(x)log3x2，x1,9，则函数yf(x)2f(x2)的最大值是_(换元配方法)解析：函数yf(x)2f(x2)的定义域为x1,3，令log3xt，t0,1，y(t2)22t2(t3)23，当t1时，ymax13.答案：133在三棱柱ABCA1B1C1的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1PBQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为_(持例法)解析：将P，Q置于特殊位置：PA1，QB，此时仍满足条件A1PBQ，则有VCA1ABVA1ABCVABCA1B1C1，VA1BCC1B1VABCA1B1C1答案：214(2012南通三模)若动点P在直线l1：xy20上，动点Q在直线l2：xy60上，设线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x02)2(y02)28，则xy的取值范围是_(数形结合法) 解析：设点P(x1，y1)满足x1y120，点Q(x2，y2)满足x2y260，两式相加得：点M(x0，y0)轨迹是直线x0y040；同时又要求点M(x0，y0)满足(x02)2(y02)28，所以满足条件的点M在定线段AB上如图，xy表示线段AB上的点M到原点距离MO的平方MOmaxAO4，MOminOC2，所以MO28,16答案：8,165(2012金陵中学)定义在1，)上的函数f(x)满足：f(2x)cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)1|x3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c_.(综合法)解析：当2x4时，极大值点为(3,1)；当1x2时，f(x)(1|2x3|)，极大值点为，当4x8，f(x)c，极值点为(6，c)，由得c1或2.答案：1或2已知函数f(x)2x2mxn，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1.(反证法)证明假设原命题不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1.则得112mn9，与矛盾，所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1.反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法求证：是无理数(反证法)证明：假设是有理数，则存在互质的整数m，n使得，则mn，故m22n2.所以m2是偶数，从而m必是偶数，故设m2k(kN*)从而有4k22n2，即n22k2.则n2也是偶数，这与m，n互质矛盾所以假设不成立，是无理数已知a2b21，x2y21.求证：axby1.(比较法、分析法、综合法、换元法、数形结合法、构造向量法)证明法一：(比较法)1(axby)(11)(axby)(a2b2x2y2)(axby)(a22axx2)(b22byy2)(ax)2(by)20，所以axby1法二：(分析法)要证axby1.只需证1(axby)0，即22(axby)0，因为a2b21，x2y21.所以只需证(a2b2x2y2)2(axby)0，即(ax)2(by)20.因为最后的不等式成立，所以原不等式成立法三：(综合法)ax，by，axby1.即axby1.法四：(三角换元法)a2b21，x2y21，可设asin ，bcos ，xsin ，ycos .axbysin sin cos cos cos()1，法五：(数形结合法)(如图)因为直线l：axby0经过圆x2y21的圆心O，所以圆上任意一点M(x，y)到直线axby0的距离都小于或等于圆半径1，即d|axby|1axby1.法六：(构造向量法)：设(a，b)，(x，y)，由向量数量积的性质知|，即|axby| 1，所以axby1.六种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法除了证法三的方法有适应条件的限制这种局限外，其余证法都是好方法可在具体应用过程中，根据题目的变化需要适当进行选择已知xy1，求x2y2的最小值(综合法、配方法、数形结合法)解：法一：xy1，y1x.x2y2x2(1x)22x22x122.当x时，x2y2取最小值.x2y2的最小值为.法二：xy1，(xy)21，即x2y212xy.2xyx2y2，x2y21(x2y2)即x2y2，当且仅当xy时取等号x2y2的最小值为.法三：设zx2y2.xy1，zx2y2xy122.当xy时，z最小，即x2y2的最小值为.法四：如图，xy1表示直线l，x2y2表示原点到直线l上的点P(x，y)到原点的距离的平方显然其中以原点到直线l的距离最短此时，d，即()最小.所以x2y2的最小值为.已知ABC中满足()2，a、b、c分别是ABC的三边(1)试判断ABC的形状并求sin Asin B的取值范围；(2)若不等式a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc对任意的a、b、c都成立，求k的取值范围(换元法)解(1)()2 ()，0，ABC是以C为直角顶点的直角三角形，sin Asin Bsin Acos Asin，A，sin Asin B的取值范围为.(2)在直角ABC中，acsin A，bccos A.若a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc对任意的a、b、c都成立，则有k对任意的a、b、c都成立，c2sin2A(ccos Ac)c2cos2A(csin Ac)c2(csin Accos A)(sin2Acos Acos2Asin A1cos Asin A)cos Asin A.令tsin Acos A，t(1，设f(t)ttt11，当t1(0，1上时f(t)为单调递减函数，所以当t时取得最小值，最小值为23，即k23，所以k的取值范围为(，23当三角函数问题中sin cos 与sin cos 同时出现时，常令sin cos t，进行换元，转化为二次函数求函数yx的值域(换元法)解：令xcos (0)，ycos sin sin.时，y有最大值；当时，y有最小值1.所求函数的值域是1， 从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以可以“不择手段”但平时做题时要尽量用通性通法，这有利于对基础知识的巩固另外，在解答一道题时，可以同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速1已知变量a，R，则(a2cos )2(a52sin )2的最小值为_解析：(a，a5)在直线xy50上，点(2cos ，2sin )在圆x2y24上，圆心到直线xy50的距离为5，则圆上点到直线距离最小值为3，故所求的最小值为9.答案：92已知实数x，y满足(x3)2y23，则的最大值是_解析：可看作是过点P(x，y)与M(1,0)的直线的斜率，其中点P在圆(x3)2y23上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为tan .答案：3不等式0x2axa1的解集是单元素集，则a的值为_解析：画图(如右图)，可知当函数yx2axa的最小值为1时满足题意可得1，解得a2.答案：24若关于x的方程 kx2有惟一解，则实数k的集合为_解析：如图，设f(x)，g(x)kx2，f(x)图象是半圆，g(x)图象是经过(0,2)的直线系，当直线与半圆相切时，k满足题意；当直线在点(1,0)与(1,0)之间旋转，即k2时也满足题意答案：k|k2，或k5对a，bR，记maxa，b那么函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析：函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.答案：6过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则_.解析：设k0，因抛物线焦点坐标为，把直线方程y代入抛物线方程得x，所以PFFQ，从而4a.答案：4a7已知函数f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意xR都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x2x1|的最小值为_解析：依题意知，当sin xcos x0，即sin xcos x时，f(x)2sin x；当sin xcos x0，即sin xcos x时，f(x)2cos xf(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值，在坐标系中画出函数yf(x)的图象，结合图象可知，|x2x1|的最小值为.答案：8把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为_ 解析：由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小如图：设AEx，BEy，则有AEAHCFCGx，BEBFDGDHy，即ABxy10.答案：9(2012泰州期末)设实数a1，使得不等式x|xa|a，对任意的实数x1,2恒成立，则满足条件的实数a的范围是_解析：当a时，不等式x|xa|a，对任意的实数x1,2恒成立，当a时，将不等式化为|xa|，作出函数y|xa|，y(1x2)的图象，如图，不等式x|xa|a，对任意的实数x1,2恒成立的条件是，函数y|xa|的图象全部落在函数y(1x2)的图象的上方，由解得a.综上所述，实数a的范围是.答案：10(2012南通三模)若函数f(x)|2x1|，则函数g(x)f(f(x)ln x在(0,1)上不同的零点个数为_解析：考虑函数yf(f(x)|2|2x1|1|与yln x的图象交点的个数而函数y|2|2x1|1|由图象易得交点个数为3.答案：311(2012盐城一中)已知k为正常数，方程x2kxu0有两个正数解x1，x2.(1)求实数u的取值范围；(2)求使不等式2恒成立的k的取值范围解：(1)由于方程x2kxu0有两个正数解x1，x2，所以解得0u，即实数u的取值范围是.(2)x1x2u2.令f(u)u2(u0)，所以f(u)1，()若k1，因为0u，所以f(u)0，从而f(u)在为增函数，所以u2f22，即2不恒成立()若0k0，所以函数f(u)在(0，上递减，在，)上递增，要使函数f(u)在上恒有f(u)f，必有，即k416k2160，解得0k2.综上，k的取值范围是(0,2 12(2012南师大信息卷)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界已知函数f(x)1xax2.(1)当a1时，求函数f(x)在(，0)上的值域，判断函数f(x)在(，0)上是否为有界函数，并说明理由；(2)若函数f(x)在x1,4上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围解：(1)a1时，f(x)1xx22，