湖南长沙长郡中学高三数学实验班选拔考试文

长郡中学20172018学年新高三实验班选拔考试文科数学试卷本试卷分第I卷和第卷两部分，时量120分钟，满分150分。第卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 已知集合，若，则符合条件的集合的个数为A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】设为集合的子集，由题意可得：，结合自己个数公式可得：符合条件的集合的个数为个.本题选择C选项.2. 已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则在复平面上对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A.则，结合题意可得：，即z1=z+z在复平面上对应的点在 第一象限.本题选择A选项.3. 长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为A. 68 B. 92 C. 82 D. 170【答案】B【解析】按照系统抽样的方法结合题意可得：第四组中抽取的学生编号为20+1200503=92.本题选择B选项.4. 在菱形ABCD中，A1,2,C2,1，则BAAC=A. 5 B. 5 C. 10 D. 102【答案】B【解析】设BD交AC于点E，且AC=3,1，由题意可得：BAAC=BE+EAAC=EAAC=12AC2=5.本题选择B选项.5. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0与圆D:x2+y22ax+316a2=0交于A,B两点，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为A. 13 B. 12 C. 32 D. 62【答案】B【解析】圆的方程即：xa2+y2=316a2，结合对称性可得点A的横坐标xA=12a，不妨设点A位于第一象限，则A12a,34a，代入椭圆方程有：14a2a2+946a2b2=1，整理可得：a2b2=43，则：e=ca=a2b2a2=12.本题选择B选项.6. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则处应填写的条件及输出的结果分别为A. a是偶数？；6 B. a是偶数？；8C. a是奇数？；5 D. a是奇数？；7【答案】D【解析】阅读考拉兹提出的猜想，结合流程图可得处应填写的条件及输出的结果分别为：a是奇数？；7.本题选择D选项.7. 已知数列an是等差数列，若Tn=na1+n1a2+2an1+ann2，且T2=7,T3=16，则an=A. n+1 B. 2n1 C. 3n1 D. 4n3【答案】A【解析】由题意可得：T2=2a1+a2=3a1+d=7T2=3a1+2a2+a1=6a1+4d=16，解得：a1=2d=1，则数列的通项公式：an=a1+n1d=n+1.本题选择A选项.8. 已知函数fx=cos3x+00个单位所得图象关于y轴对称，则的值不可能是A. 4 B. 512 C. 712 D. 1112【答案】B【解析】由题意集合对称中心可得：346+=k1+2k1Z，据此有：=k1+4k1Z，结合对称轴有：30+=k2k2Z，据此有：=13k2k112，据此可得：的值不可能是512.本题选择B选项.9. 若函数fx=x+a,x0lnx,x0的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a的取值范围是A. ,0 B. 0,+ C. ,1 D. 1,+【答案】D【解析】函数y=lnx关于直线y=x对称的曲线为y=ex，据此可得，在区间,0上，函数y=x+a与函数y=ex存在交点，据此可得实数a的取值范围是1,+本题选择D选项.10. 已知双曲线C1:x2a2y2b2=1a0,b0与双曲线C2:y24b2x2a2=1，若以C1,C2四个顶点为顶点的四边形的面积为S1，以C1,C2四个焦点为顶点的四边形的面积为S2，则S1S2取到最大值时，双曲线C1的一条渐近线方程为A. y=12x B. y=22x C. y=2x D. y=2x【答案】B【解析】由题意可得：S1=412a2b=4ab，S2=412a2+b2a2+4b2=2a2+b2a2+4b2，据此有：S1S2=2a2b2+4b2a2+5，结合均值不等式的结论有：当且仅当a2b2=4b2a2，即a2=2b2时，S1S2取得最大值，此时双曲线C1的一条渐近线方程为y=22x .本题选择B选项.11. 如图，在四棱锥PABCD中，ABAD,BC/AD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF/平面PCD，PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为A. 2 B. 2C. 22 D. 23【答案】C【解析】如图所示，将原图形补行为一个棱长为4的正方体，由空间几何体的几何关系可得：线段CH的长度为：1242+42=22.本题选择C选项.12. 已知函数fx=x2+cosx+a在0,上有两个不同的零点 x1,x2x1x2，给出下列结论：fx10；x1+x2其中错误结论的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由函数的解析式可得 ：fx=2xsinx，结合函数的定义域可得存在实数x00,，函数在区间0,x0上单调递减，在区间x0,+上单调递增，据此可得：fx10，极值点偏移可得x1+x2=，错误结论的个数是0个.本题选择A选项.第卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13. 已知fx=lne2x+1+kx是偶函数，则k=_【答案】1【解析】函数是偶函数，则：fln2=fln2，即：lne2ln2+1+kln2=lne2ln2+1+kln2，解得：.14. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个正四棱柱，其中底面为对角线长度为，高为，据此可得，该几何体的表面积为：.15. 不等式组表示的平面区域为，若，则的最小值为_【答案】45【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得：函数的最小值为点1,0与直线2xy=0的距离的平方之值，据此可得，最小值为：212+222=45.16. 已知等差数列an中公差d0,a1=1，若a1,a2,a5成等比数列，且a1,a2,ak1,ak2,akn,成等比数列，若对任意nN，恒有an2kn1am2km1mN，则m=_【答案】1或2【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得：a22=a1a5，即：a1+d2=a1a1+4d，结合a1=1整理可得：dd2=0，由d0可得：d=2，数列的通项公式：an=a1+n1d=2n1，则：a1=1,a2=3，即数列a1,a2,ak1,ak2,akn,是首项为1公比为3的等比数列，则：akn=3n+1=2kn1，据此可得：an2kn1=2n13n+1，结合数列an2kn1的单调性可得m=1或2.三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且acosB+bcosA=2ccosA（）若ABC的面积S=32，求证：a2；（）如图，在（）的条件下，若M,N分别为AC,AB的中点，且BMCN=132，求b,c【答案】()证明见解析；()b=1,c=2.【解析】试题分析：()由题意结合余弦定理和均值不等式的结论即可证得题中的结论；()由题意可得关于实数b,c的方程组，求解方程组可得b=1,c=2.试题解析：（）由acosB+bcosA=2ccosA及正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sinA+B=2sinCcosA，因为A+B+C=，所以sinA+B=sinC0，所以cosA=12，又A0,，A=3，由S=12bcsinA=32可得bc=2在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc2bc-bc=2，所以a2（）因为M,N分别为AC,AB的中点，在ABM中，由余弦定理可得BM2=c2+b24-12bc，在ACN中，由余弦定理可得CN2=c24+b2-12bc，由BMCN=132可得c2+b24-12bc=134c24+b2-12bc，整理得c+8bc-2b=0，所以c=2b，由bc=2可得b=1,c=2 18. 据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有个成绩，不再颁发“合格证这也意味着，不再有“及格”一说大学英语四级考试425分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上可以报考口语如图是某大学数学专业的40人2017年7月英语四级成绩中随机抽取的8人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（）通过这8人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中任取两人，求这两人都可以报考口语的概率【答案】()平均数为500，中位数为502.5；()15.【解析】试题分析：()结合所选的人的成绩可得数学专业英语四级成绩的平均数为500，中位数为502.5()列出所有可能的结果，结合古典概型公式可得这两人都可以报考口语的概率是15.试题解析：（）这8人英语四级成绩的平均数为（386410450485520564575610）8500， 这8人英语四级成绩的中位数为（485520）2502.5，则某大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500，中位数为502.5（）设可以报考大学六级考试但不能报考口语的3人成绩为A1,A2,A3，可以报考口语的三人成绩为B1,B2,B3，全部情况列举出来为A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A,2A3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3共计15种 这两人都可以报考口语的情况为B1,B2,B1,B3,B2,B3共计3种， 则这两人都可以报考口语的概率为P=315=1519. 如图所示，ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC,AB=BC=2,BCD=60，点M为BE的中点，点N在线段AC上（）若ANNC=，且DNAC，求的值；（）在（）的条件下，求三棱锥BDMN的体积【答案】()3；()312.【解析】试题分析：()由题意结合几何关系得到线段的比例关系，据此可得=3；()转化顶点可求得三棱锥的体积为312.试题解析：（）取BC的中点O，连接ON,OD，因为四边形BCDE为菱形，BCD=60，所以DOBC，因为ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，所以DO平面ABC，因为AC平面ABC，所以DOAC，又DNAC，且DNDO=D，所以AC平面DON，因为ON平面DON，所以ONAC，由O为BC的中点，AB=BC，可得NC=14AC，所以ANNC=3，即=3（）由平面ABC平面BCDE，ABBC，可得AB平面BCDE，由AB=2，ANNC=3，可得点N到平面BCDE的距离为h=14AB=12，由菱形BCDE中BCD=60，点M为BE的中点，可得DMBE，且DM=DE2-EM2=22-12=3，所以BDM的面积S=12DMBM=32，所以三棱锥N-BDM的体积V=13Sh=133212=312又VN-BDM=VB-DMN，所以三棱锥B-DMN的体积为31220. 已知抛物线C:x2=2pyp0及点D0,p2，动直线l:y=kx+1与抛物线C交于A、B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为,，且+=（）求抛物线C的方程；（）若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H不重合的任意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P,M，求证：MNON=MPOH【答案】() x2=4y；()证明见解析.【解析】试题分析：()联立直线与抛物线的方程，结合直线的斜率关系可得抛物线C的方程为x2=4y()设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由几何关系即可证得题中的结论成立.试题解析：（）把直线y=kx+1代入x2=2py得x2-2pkx-2p=0， 设Ax1,x122p,Bx2,x222p，则x1+x2=2pk,x1x2=-2p， 由+=可知，直线AD的斜率与BD的斜率之和为零， 所以x122p+p2x1+x222p+p2x2=0，去分母整理得x1+x2x1x2+p2=0， 即2pkp2-2p=0，由该式对任意实数k恒成立，可得p=2， 抛物线C的方程为x2=4y（）证明：设过点N的垂线为x=tt0，联立x=tx2=4y，得x=ty=t24，即点Pt,t24 令MNMP=，则Nt,t24，所以直线ON方程为y=t4x， 联立y=t4xx2=4y，得x=ty=2t24，即点Ht,2t24， 所以OHON=xHxN=tt=，所以MNMP=OHON，即MNON=MPOH21. 设函数fx=1alnx+a2x2x（）若对任意的实数a，曲线fx在x=t处的切线斜率恒为零，求的值；（）若0aa1a【答案】()1；()证明见解析.【解析】试题分析：()由题意得到实数a满足的条件，然后解方程可得t=1;()由题意结合函数的解析式分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（）fx=1-ax+ax-1，由题设知ft=0，即1-a+at2-t=0， 即at2-1+1-t=0，因为该等式对任意的实数a恒成立 所以t2-1=01-t=0，所以t=1（）fx=1-ax+ax-1=axx-1x-1-aa， 因为0a2-2,x1， 若0a1，当x1,1-aa时，fx0，fx在1,1-aa上单调递减，在1-aa,+上单调递增 所以fxf1-aa=1-aln1-aa+1-a22a+a-1a； 由0a1，可得1-aln1-aa+1-a22a0，所以fxa-1a 若a=12，则1-aa=1，故当x1,+时，fx0，fx在1,+上单调递增， 所以fxf1=a2-1=-34，此时a-1a=-1，所以fxa-1a 若12a2-2，则1-aa1， 所以当x1,+时，fx0，fx在1,+上单调递增所以fxf1=a2-1； a2-1-a-1a=a2-4a+22a=a-22-22a， 因为12a0，故fxa-1a， 综上可得fxa-1a22. 如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点，弦AD、BC相交于点E，弦AB延长线上的点F，满足FBD=FED求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线【答案】证明见解析.【解析】试题分析：由题意作出辅助线，结合题中的位置关系和赛瓦定理即可证得题中的结论.试题解析：解：由PA为圆O的切线知，PAD+ABD=180又FBD+A