湖南长沙雅礼中学高三数学上学期第一次月考文

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】求出A中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得，所以.故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则,实数a等于A. -2B. 2C. D. -1【答案】C【解析】是纯虚数,所以，选C.3.“”是“方程为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定4.如果在区间上为减函数，则的取值（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对进行讨论，即可推得答案。【详解】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意，当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：.综上：可得故选：.【点睛】本题主要考查根据一元二次函数的性质求参数。5.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、和，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，所以=2，所以f（x）=sin（2x+）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）+图象因为得到的图象关于y轴对称，所以2+=k+，kZ，即=k，kZ；又|，所以=，所以f（x）=sin（2x），令2x=k，kZ，解得x=，kZ；k=0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，A正确故选：A【点睛】解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化6.在中，若，则的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知，或，即或，由正弦定理，得，即，即，均为的内角，或或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.7.若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养8.如图所示，在斜三棱柱中， ，则点在底面上的射影必在( )A. 直线上B. 直线上C. 直线上D. 内部【答案】A【解析】【详解】连接AC1，如图所示.BAC=90，ABAC.ABAC，BC1AC，ABBC1=B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.又平面ABC1平面ABC=AB，点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上，故选A.9.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算性质，分类讨论，得当时，函数，当时，函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，当时，函数，当时，函数，所以函数图象只有选项D符合，故选D.【点睛】本题主要考查了对于的运算性质，以及函数图象的识别，其中解答中根据对数的运算性质，合理化简函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围【详解】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点。两圆的圆心距解得：故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题11.已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，用表示这个等差数列后三项和为，进而设，利用三角函数的性质能求最大值。【详解】设中间三项为，则，所以， ，所以后三项的和为，又因为，所以可令，所以故选：【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质。12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4R2=29，得4R2=29又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25三棱锥A-BCD的侧面积：S=SABD+SACD+SABC=由x2+y22xy，得xy当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y22（x2+y2），得x+y5,当且仅当x=y=时取等号，S5+=当且仅当x=y=时取等号. 三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，利用向量的坐标运算，解出的坐标，再利用向量模的坐标运算即可解出答案。【详解】故答案。【点睛】本题主要考查向量的坐标运算。14.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_.【答案】 （或 ）【解析】【分析】先求导数，根据导数几何意义得斜率，再根据二次函数性质求斜率最小值以及对应切点横坐标，最后根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，当时，斜率最小为，此时切线方程为【点睛】本题考查导数几何意义以及二次函数性质，考查基本分析求解能力.属基本题.15.已知，则_.【答案】【解析】分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：，又 ，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.16.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可【详解】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了查函数与方程的应用，其中解答中熟练应用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题三、解答题:本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列是等差数列，且，（） 求数列的通项公式；（）若数列是递增的等比数列且，求【答案】（） （）【解析】【分析】（）由已知可得，即可求出数列an的通项公式an；（）由已知可得 可得bn2n1，再分组求和即可【详解】（）有已知得： ，.（）由已知得： ,又是递增的等比数列，故解得：,= =.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图，四棱锥中，底面，为棱的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离，【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点，则，通过勾股证得即得结合即可得证.（2）先求再求根据体积公式计算即可【详解】解：（1）取的中点，连结，.如图：因为底面所以,又因为且,所以平面，得.又因为面且所以面，在SAD中,在SAB中,为的中点，故，在中,所以，在中，,故,在中，,故,在中， ,由余弦定理知，在中，,满足勾股定理所以，从而.所以平面.（2）连接BD并取中点O,连接EO，OC,过O作交CD于M点，过O作交AD于N点，如图：在中，, 底面且为棱的中点 底面即为直角三角形即在中，由余弦定理知即.，且，解得【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题19.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月2019年1月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码113分别对应2018年1月至2019年1月）（1）试估计该市市民的平均购房面积（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在的概率（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示： 请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价（精确到）参考数据：，,参考公式：相关指数【答案】（1）96；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用组中值可求平均购房面积.（2）由分层抽样可得在抽取的4人有3人位于，1人位于，枚举后可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而得到所求的概率.（3）根据相关系数的大小可得的拟合效果更好，从而可预测2019年6月份的二手房购房均价.【详解】解：（1）（2）设从位于的市民中抽取人，从位于的市民中抽取人，由分层抽样可知：，解得，在抽取的4人中，记3名位于的市民为：，1名位于的市民为，从这4人中随机抽取2人，共有：，故基本事件总数，其中恰有一人在的情况共有种，设为“这2人的购房面积恰好有一人在”，则（3）设模型和的相关指数分别为，,则，模型的拟合效果更好2019年6月份对应的万元/平方米【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、古典概型的概率的计算以及回归变量的相关性，属于中档题.20.从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）利用相关点法，设设，则点的坐标为，由，从而得到，即化简求得结果；（2）设出点A,B的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到，根据韦达定理得到=， =，设点，写出直线AT的方程，进而求得点D的坐标，同理求得点E的坐标，如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设，则点的坐标为因为，所以， 即 ， 因为点在抛物线上，所以，即 所以点的轨迹的方程为 （2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为 ，由得由韦达定理得 =， = 设点，则 所以直线的方程为令，得点的坐标为 同理可得点的坐标为 如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足 因为 所以 即，解得或故以为直径的圆过轴上的定点和 解法2：直线与曲线的交点坐标为，若取，则，与直线的交点坐标为，所以以为直径的圆的方程为该圆与轴的交点坐标为和所以符合题意的定点只能是或 设直线与曲线的交点坐标为 ，由得由韦达定理得 设点，则 所以直线的方程为令，得点的坐标为 同理可得点的坐标为 若点满足要求，则满足因为 所以点满足题意同理可证点也满足题意故以为直径的圆过轴上的定点和【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式，属于较难题目.21.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）对函数求导得到 ，讨论和0和1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设 ，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可.解析：（）， ，的定义域为.即时，在上递减，在上递增，无极大值.即时，在和上递增，在上递减， ，.即时，在上递增，没有极值.即时，在和上递增，在上递减， .综上可知：时，无极大值；时， ，；时，没有极值；时， .（）设 ，设，则， ，在上递增，的值域为，当时，为上的增函数，适合条件.当时，不适合条件.当时，对于，令，存在，使得时，在上单调递减，即在时，不适合条件.综上，的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标