湖南高三十二校第一次联考数学文

湖南省2008届高三 十二校联考 第一次考试数学试卷（文科）总分：150分 时量：120分钟 2008年3月2日长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中隆回一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中由联合命题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 设全集，集合，则为( )A B C D2已知，且，则向量与向量的夹角是（）ABC D3 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A8B6 C4 D4已知函数的图象关于（ ）Ax轴对称 By轴对称 C原点对称 D直线y=x对称5下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ ）A BC D 6若二项式的展开式的第5项为常数项，则n的值为（ ）A6B10C12D157在等比数列（ ）ABCD8某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是A4 B5 C6 D79设实数满足 ，则有 ABCD10若a是 与的等比中项，则的最大值为（ ） ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11已知函数的反函数为 12点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 .13我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为 .(请写出化简后的结果)14如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 。 15已知实数数列中，=1，=32，把数列的各项排成如右图的三角形状。记为第m行从左起第n个数，则（1）= ；（2）若，则m+n= 。三.解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为（1）求；（2）若=，且，求 17.（本小题满分12分）一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个求：（）连续取两次都是红球的概率；（）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率 13第 13 页 共 15 页18. （本小题满分12分）已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数. 设，求数列的通项公式，并求其前n项和.19.（本小题满分13分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点 （）求证：AF平面PEC； （）求PC与平面ABCD所成角的大小； （）求二面角P一EC一D的大小 20（本小题满分13分） 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(420)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？y xO510155101521（本小题满分13分）已知直线相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点）。（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标；（3）若直线过（2）中的定点P，且椭圆的离心率，求原点到直线距离的取值范围。 文科数学答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设全集，集合，则为( C )A B C D2已知，且，则向量与向量的夹角是（B）ABC D3 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ C ）A8B6 C4 D4已知函数的图象关于（ B ）Ax轴对称 By轴对称 C原点对称 D直线y=x对称5下列函数中，图像的一部分如右图所示的是 （ D ）A BC D 6若二项式的展开式的第5项为常数项，则n的值为（ C ）A6B10C12D157在等比数列（D ）ABCD8某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ C ）A4 B5 C6 D79设实数满足 ，则有（ B ）ABCD10若a是 与的等比中项，则的最大值为（ D ） ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11已知函数的反函数为 6 12点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点P的坐标是 （7，3） .13我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为.(请写出化简后的结果)14如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 30 种 。 15已知实数数列中，=1，=32，把数列的各项排成如右图的三角形状。记为第m行从左起第n个数，则（1）= ；（2）若，则m+n= 11 。16.(本题满分12分)在中，角的对边分别为（1）求；（2）若=，且，求解：（1）又 解得，是锐角 6分（2）， ，又 12分17.（本小题满分12分）一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个求：（）连续取两次都是红球的概率；（）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率解：（）连续取两次都是红球的概率 6分 （）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为、， ， 所以，取球次数不超过3次的概率是=答：取球次数不超过3次的概率是12分18. （本小题满分12分）已知点列，且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数. 设，求数列的通项公式，并求其前n项和.解：由题意得： 2分垂直， 4分 6分当c=1时， 8分当c1时， 12分19.（本小题满分13分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点 （）求证：AF平面PEC； （）求PC与平面ABCD所成角的大小； （）求二面角P一EC一D的大小解：（）取PC的中点O，连结OF、 OEFODC，且FO=DCFOAE 2分又E是AB的中点且AB=DCFO=AE四边形AEOF是平行四边形AFOE又OE平面PEC，AF平面PECAF平面PEC4分 （）连结ACPA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角6分在RtPAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 8分（）作AMCE，交CE的延长线于M连结PM，由三垂线定理得PMCEPMA是二面角PECD的平面角 11分由AMECBE，可得，二面角P一EC一D的大小为 13分解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，则A（00，0），B（2，0，0），C（2，l，0），D（0，1，0），F（0，），E（1，0，0），P（0，0，1）（）取PC的中点O，连结OE，则O（1，）， 又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC （）由题意可得，平面ABCD的法向量即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 （）设平面PEC的法向量为则，可得，令，则 由（）可得平面ABCD的法向量是二面角P一EC一D的大小为 20. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(420)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车以千米/时(30100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形； (2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？解：(1) 由题意得：,420,30100,3x10,y.由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9x+y14,因此满足的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p=100+3(5x)+2(8y),所以3x+2y=131p,设131p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 21（本小题满分13分）已知直线相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点）。（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；（2）求证：不论