江苏苏州第五中学高中数学2.4向量的数量积学案苏教必修4_第1页
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文档简介

2.4 向量的数量积一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议平面向量数量积的含义及其物理意义了解结合物理中的功等概念理解向量的数量积概念数量积的坐标表示掌握利用数量积表示两个向量夹角的余弦理解用数量积判断两个非零向量是否垂直了解二、 预习指导1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义,掌握两个向量夹角的概念,通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题;(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式;通过平面向量数量积的坐标表示,推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算(2)阅读课本P76-80,弄清以下内容:向量的数量积定义;向量的夹角;向量的数量积满足下列运算律;的几何意义;平面向量数量积的坐标表示;平面向量的模及平方的坐标表示;两点间的距离公式;向量的夹角公式;向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算,直接利用数量积公式=例2讲了数量积的坐标表示,除了书上的解法,还可以先计算出、这两个向量的坐标表示,在计算它们的数量积例3在直线上任取两个,构成一个向量,称为直线的方向向量,本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角,间接求直线的夹角例4用到了分类讨论的数学思想方法 3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握.例1 已知=3,与的夹角为,求:(1);(2);(3);(4) ;(5) .分析:由条件可获得以下信息:已知向量的模及夹角,所求的问题涉及, ,还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则.解:(1) =; ;(3);(4);(5)= .点评:此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题,特别灵活运用.尤其是求解模问题是一般利用转化为求模的平方.例2 (1)设|=12,|=9 ,=-54 求与的夹角;(2)已知向量与的夹角为120,且|4,|2如果向量k与5垂直,求实数k的值;(3)已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求的夹角的大小分析:考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解:(1)cos=0180 =1350(2)由题意=|cos120=42(-)=-4,(k)(5),(k)(5)=0,即 52(5k1) k2,5|2(5k1)(-4)k|20,516-(20k4)4k=0,k=(3)因为与垂直,与垂直,(1)-(2)得:(3)将(3)代入(1)得即又0180 , =600点评:求向量夹角的问题应用数量积的变形公式,故应求两个整体与;(2)转化垂直条件建立参数k的方程,此题中利用例1数量积计算公式及重要性质;本题(3)中为求两整体或寻求两者关系,转化条件解方程组,特别注意向量夹角范围例3 已知向量=(4,-2),(6,-3),记与的夹角为求:(1);(2)的大小;(3)|2-3|;(4)(2-3)(2) 分析:设,则,cos=解:(1)46(-2)(-3)30;(2)cos=,又因为,所以=0;(3)方法一:|23| ;方法二: |=;(4)方法一:(23)(2)=2262=242(-2)246(-2)(-3)-662(-3)2=4030-270-200方法二:=(-10,5),2=(4,-2)+2(6,-3)=(16,-8) ()(2)=(-10,5)(16,-8)= -160-40= -200点评:此类问题是有关向量数量积的坐标运算,在灵活应用基本公式的前提下要认真细心,特别注意向量夹角的范围例4 在中,D是边BC边上一点,DC=2DB,求分析:若由定义求解则要求解三角形,计算比较复杂,所以,思路一:转化为与的内积计算思路二:建系利用坐标运算解:方法一:=方法二:以A为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则,由,设,则,得D()4. 自我检测(1)已知,则向量与向量的夹角 (2)已知,当(1);(2);(3)与的夹角为60时,分别求 与的数量积(3)已知与共线,且与垂直,则m+n值为 (4)已知,则322等于 (5)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是ABC的 心三、 课后巩固练习A组1已知向量和向量的夹角为,则向量和向量的数量积= 2已知|1,且(2-)(32)8,则与的夹角为 3在中,是边的中点,则4设,是任意的非零向量,且相互不共线,则有下列命题:()()0 ; | |;()()与不垂直; (32)(32)9|24|2这些命题中,是真命题的有5在ABC中,若|是否存在满足条件的,使|+|2|-|?请说明理由34在直角中,已知BC=,若长为2的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时,的取值最大?并求出这个最大值知识点题号注意点平面向量数量积的含义及其物理意义向量运算与实数运算的转化,与数量积的坐标表示相关的计算问题,如求两个向量的夹角,判断两个非零向量是否垂直数量积的坐标表示数量积的应用数量积与其他知识的综合四、 学习心得五、 拓展视野 平面向量的数量积是一个非常重要的概念,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线许多、正方形的对角线垂直平分等你给出具体的证明吗?你能用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗?2.5 向量的应用一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具了解结合实际背景解决问题二、 预习指导1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系,经历用向量方法解决物理中有关问题的过程;(2)体会向量是一种数学工具,掌握用向量方法解决某些简单的几何问题,发展运算能力和解决实际问题的能力2. 预习提纲(1)物理中,如果力F与物体位移s的夹角为,那么F所做的功W=(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理;证明垂直常证两个向量的数量积为0;求向量的夹角常用公式cos=(3)思考:向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题?解决这些问题的基本步骤是什么?3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小,又有方向的量,物理中的很多量都是向量,如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法:把物理问题转化为数学问题,抽象成数学模型,对这个数学模型进行研究,进而解释相关物理现象.例1 如图,一条河的两岸平行,河的宽度m,一艘船从A处出发到河对岸已知船的速度|=10km/h,水流的速度|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?分析:如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短考虑到水的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸解:= (km/h),所以,(min)答:行驶航程最短时,所用的时间是3.1 min点评:上述问题中涉及速度等物理量,可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要,把分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量,再利用运动学知识建立数学模型,最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时,将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点,利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证ABC的三条高相交于一点.证明:设ABC的AB、AC边的高分别为CF,BE,它们交于点H,连接AH(如图),设,,则CHAB,BEAC即两式相减得,即 BCAH,即三角形三条高相交于一点.例3 如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交与R、T两点,证明:AR=RT=TC.解:设, 则.由于与共线,所以设.又因为,与共线,设=因为=+,所以.因此,即.由于向量不共线,要使上式为,则有,解得.所以=.同理=. 所以AR=RT=TC.点评:本题中由于R、T是对角线AC上两点,要证AR=RT=TC,只需证明AR、RT、TC都等于即可.4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为 (2)已知,向量与垂直,则实数的值为 (3)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为_.(4)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3, 1),B(-1, 3), 若点C满足,其中,R且+=1,则点C的轨迹方程为_.(5)一艘船距对岸km处,以2km/h的速度向垂直于岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速.三、 课后巩固练习组1已知向量与的夹角为,则等于2已知=(3,),=(4,-3),若与的夹角为锐角,则的取值范围为_3若A(0,2),B(3,1),C(-2,k)三点共线,则向量+的模为4设点是正边形的中心,则在下列各结论中:;+=;=0(i=1,2,n)正确的共有个5已知向量=(2,3),=(x,6),若=|,则x6已知是两个向量集合,则7在四边形ABCD中,有=0,则该四边形是8设向量=(1,3), =(2,4),若表示向量4、32、的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量为9已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是组10平面上三个力F1 、F2、F3作用于同一点O,而处于平衡状态,成,求(1)F3的大小 ;(2)F3与F1的夹角11边形ABCD中,已知+=,=0,试证明四边形ABCD是菱形12在四边形ABCD中,AB2 +CD2 =AD2 +BC2成立,求证:ACBD 13已知,与垂直,与的夹角为,且,求实数的值及与的夹角知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、 学习心得五、 拓展视野向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心外心即三角形的外接圆的圆心;重心即三角形三条中线的交点;垂心即三角形三条高的交点;内心即三角形内角平分线的交点它们在各类考试中屡见不鲜现举例如下例1 已知O是所在平面上一点,若,证明O是的外心证明: ,所以O是的外心例2 已知O是ABC内一点,若,则O是ABC的重心证明:如图所示,延长OD到G,使DGOD,连接AG,BG,因为D是AB和OG的中点,所以四边形OAGB为平行四边形,由向量加法性质得又由得,C、O、D、G四点共线O在中线CD上同理得O在中线AE和BF上,O是ABC的重心点评:本题同时证明了CO=2OD=,即重心O分中线CD为2:1两部分例3 O为平面中一定点,动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足()()=0,则点P的轨迹一定过ABC的 (选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ).解:由题,所以,故P的轨迹一定过ABC的垂心例4 O是平面上一定点,A、B、C是平面上的共线三点,动点P满足(),则P的轨迹一定通过ABC的 (选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ).解:从分析向量特征着手,均为单位向量,以, 为邻边的平行四边形

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