江苏苏州第五中学高中数学第一章常用逻辑用语学案无苏教选修21

第1章 常用逻辑用语11 命题及其关系一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议命题四种形式了解从初中所学的命题入手，通过实例说明四种命题形式的客观存在，体会研究四种命题形式的必要性；利用熟悉的命题理解四种命题的关系，避免抽象的讨论必要条件、充分条件、充要条件理解二、预习指导1预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识2预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p q，那么p是q的_，q是p的_； 如果p q，那么p是q的_(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流3典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由x25x+6=0；当x=4时，2x 0)，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解：由x22x+1m20，(m0)得1m x1m，故非q：Ax|x 1+m或x 0，由，得 2x10，故非p： B x| x10或x0， 0 m 3 实数m的取值范围是点评：本例由“非p是非q的充分而不必要条件”得“非p非q但非q非p”，然后借助集合间关系求得m的取值范围本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“qp且pq”，然后求解请再用等价转化的思想解答本例(3)相关的证明问题的处理：要证明p是q的充分不必要条件，只要证明“若p则q”为真，而“若q则p”为假；要证明p是q的必要不充分条件，只要证明“若q则p”为真，而“若p则q”为假；要证明p是q的充要条件，只要证明“若p则q”与 “若q则p”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；要证明p是q的既不充分又不必要条件，只要说明“若p则q”与“若q则p”都为假例7 方程ax2+2x+1=0(a0)至少有一负实根的充要条件是_分析：由a0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论解：将x=0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根(1)方程有一正根和一负根；(2)方程有两个负根综合(1)、(2)，方程ax2+2x+1=0(a0)至少有一负根的充要条件是a0或00”是“|x|0，则x2+xm=0有实根”的逆否命题的真假 6写出命题“若xy，则x2y2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假7 指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(1)p：|x|1，q：|x|1，q： |x|0；(E)a+b0；(F)a2+b20，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a、b都为0的充分条件是_；(2)使a、b都不为0的充分条件是_；(3)使a、b中至少有一个为0的充要条件是_；(4)使a、b中至少有一个不为0的充要条件是_9a、bR，条件是条件的_10已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么非A是非B的什么条件?11是的_条件12设P：x|0x5，Q：x|x2|1，则关于x的不等式mx22(m+1)x(m3)0的解集为R”的逆命题；(4)“若a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中，是真命题的是_ 22命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_个，真命题有_个23写出命题“若AB，则AB=A”的逆命题，并判断真假24设原命题是“当a0时，若|x|a，则ax0的解集为R；条件q：0a0的解集为()的充要条件是0mC组32给定下列两个关于异面直线的命题：命题：若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么，c至多与a，b中的一条相交；命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线那么，命题、命题是否正确?33定义在R上的函数y=f(x1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f(0) =1；(2)f(1)1；(3)f(0) 0)的图象与y = x的图象至多有一个交点”那么，命题A的真值是_解：当a =1和0 a 1时，若取a = ，则x =1时，y = ax = 1，(1， )在直线y =x的上方；当x =2时，y = ax =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = ax = 2 4时，()x x，两曲线再无交点所以，当a = 时，y = ax的图象与y =x的图象有两个交点，故命题A是假命题，其真值为0点评：题中当0 1且a 比较接近1时，如解中的a =，或a = 11等，两曲线有两个公共点而当a较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点判断一个命题为假，只需找出一个反例故A是假命题12 简单的逻辑联结词一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议简单的逻辑联结词了解了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；能指出命题的构成形式及真假二、预习指导1预习目标(1)了解简单的逻辑联结词的含义(2)能指出命题的构成形式，并会判断命题的真假2预习提纲(1) 阅读课本第10页至第13页内容，并完成课后练习(2) 结合课本第10页的例1，学会指出命题的构成形式；结合课本第11页的例2，体会判断命题真假的方法：先判断命题的构成形式，再判断“p或q”型，“p且q”型、“非p”型命题的真假；阅读课本第11页的例33典型例题例1 用“p或q”，“p且q”、“非p”填空： 命题“菱形的对角线互相垂直平分”是_形式； 命题“1+不是有理数”是_形式；命题“对角相等或对边相等的四边形是平行四边形”是_形式解：因为“菱形的对角线互相垂直平分”意味着“菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相垂平分”，所以该命题是“p且q”形式； 因为“1+不是有理数” 是“1+是有理数”的否定，所以该命题是“非p”形式；“对角相等或对边相等的四边形是平行四边形” 意味着“对角相等的四边形是平行四边形或对边相等的四边形是平行四边形”，所以该命题是“p或q”形式点评：求解本题时，要了解逻辑联结词的含义，正确理解由命题p和命题q构成的三种复合命题形式：“p或q”，“p且q”、“非p” 例2 分别指出下列复合命题的的构成形式以及构成它的简单命题：12是48与36的公约数；3是偶数或奇数；4的算术平方根不是2；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧分析：将题中所给的复合命题分解为命题p和命题q，确定它的构成形式解：这个命题是p且q的形式， p：12是48的约数；q：12是36的约数 这个命题是p或q的形式， p：3是偶数；q：3是奇数这个命题是非p的形式， p：4的算术平方根是2这个命题是p且q的形式， p：垂直于弦的直径平分这条弦；q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧点评：不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题中，p，q都是命题而“若p则q”中的p，q可以是命题，也可以是其他的语句例3 分别指出由下列命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题的真假： p： 5是15的约数， q：5是20的约数； p： 矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相垂直；p： 12， q：1+23；p：是有理数， q：是实数分析：要判断“非p”、“p或q” 、 “p且q”形式的命题的真假，先判定构成复合命题的简单命题p、q的真假，再利用相应的真值表判断复合命题的真假解：p或q：5是15或20的约数；p且q：5是15和20的约数；非p：5不是15的约数因为命题p、q都是真命题，所以命题“p或q”、“p且q”都是真命题，命题“非p”是假命题p或q：矩形的对角线相等或互相垂直；p且q：矩形的对角线相等且互相垂直；非p：矩形的对角线不相等因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，命题“非p”是假命题p或q：12或1+23；p且q：12且1+23；非p：12因为命题p、q都是假命题，所以命题“p或q”、“p且q”都是假命题，命题“非p”是真命题p或q：是有理数或是实数；p且q：是有理数且是实数；非p：不是有理数因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以命题“p或q” 是真命题，命题“p且q” 是假命题，命题“非p” 是真命题点评：本题充分运用了三种复合命题的真值表：“非p”形式命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式的命题，当p与q 同真时为真，其余为假；“p或q” 形式的命题，当p与q同假时为假，其余为真“非”字有否定的意思一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成了复合命题 “非p”，称为“命题p的否定”写一个命题p的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常有的正面词语和它的否定列表如下：正面词语否 定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是都是不都是(至少有一个不是)至多有一个至少有两个至少有一个一个也没有例4 如果命题 “p或q”是真命题， “非p”是假命题，那么：命题p一定是假命题，命题q一定是假命题，命题q一定是真命题，命题q是真命题或假命题中，正确的是_解：“非p”是假命题，则p是真命题，又 “p或q”是真命题，所以p、q中至少有一个是真命题，而p是真命题，所以q是真命题或者是假命题都是可以的，因此填点评：由简单命题组成的复合命题的真、假可利用真值表进行判定本题利用 “非p” 与“p或q”形式的复合命题的真值表，判断出命题q的真假4自我检测(1)指出下列复合命题的是由哪些简单命题和逻辑联结词构成的：不是有理数四边形ABCD是平行四边形或梯形77三角形是等腰直角三角形方程x2+1=0没有实数根(2)分别指出由下列命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：p：0N，q：6N p：314，q：3 4 p：31，2，q：31，2 p： 31， q： e三、课后巩固练习A组1“”是指(1)a0且a=0，(2)a0或a=0，(4)a0或a=0中的_ 2“x2=1”是指(1)x=1，(2) x=1且x=1，(3)x=1，(4)x=1或x=1中的_ 3“xy0”是指(1)x，y中至少有一个不是0，(2)x0且y0 ，(3)x0或y0，(4)x，y不都是0中的_ 4“x不大于y”是指(1)xy；(2)xy或x=y ；(3)xy ； (4)xy且x=y 中的_ 5如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_6命题p：0不是自然数，命题q：是无理数，则在命题“p且q”，“p或q”，“非p”，“非q”中真命题是_，假命题是_7下列命题中，为真命题的是_ (1)56或6y，则xt2yt2(x，y，tR) (3)不存在实数x，使|x+3|1且|x|1，(4)若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则ac0；x0，1，2，2x10；xN，x2+1x+1；xN*，使x为13的约数解： 因为3x2x+1的=112=110恒成立故“xR，3x2x+10”是真命题；因为当x=0时，2x1=10”是假命题；因为当x=0时，x2+1x+1，所以“xN，x2+1x+1” 是真命题；因为1与13是13的约数，所以“xN*，使x为13的约数” 是真命题点评：要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个元素x0，使p(x0)为假例4 写出下列命题的否定：所有人都打球；xR，x2+x+20；菱形的对角相等；xR，x2+x+2=0分析： 先将命题写成含有一个量词的命题的标准形式，再写出命题的否定解： “所有人都打球”的否定是“有的人不打球”；“xR，x2+x+20” 的否定是“xR，x2+x+20”；“菱形的对角相等”是指任意一个菱形的对角相等，它的否定是“存在菱形，它的对角不相等”；“xR，x2+x+2=0” 的否定是“xR，x2+x+20”点评：本题给出了含有一个量词的命题的否定的范式：“xM，p(x)”的否定为“xM，p(x)”； “xM，p(x)”的否定为“xM，p(x)”4自我检测(1)指出下列语句中的全称量词或存在量词：每一周有7天；大年初一有时在1月份；中国所有的江河都流入太平洋有些相似三角形是全等三角形(2)写出下列命题的否定：小学生的年龄都在6岁以上；有的同学乘公共汽车；钝角都相等；我们班上有的学生不会跳绳；三、课后巩固练习A组1判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有的偶数是合数；(2)在同一平面内，与同一直线垂直的两条直线平行；(3)有的三角形两边长相等；(4)和圆没有公共点的直线与圆相离2判断下列命题的真假：(1)xR，2x2x+50；(2)xN，x3x2；(3)xQ，x2=2；(4)xN*，使x为7的约数3写出下列命题的否定：(1)四边形的内角和是360；(2)相似三角形都是全等三角形；(3)一元二次方程没有实数解；(4)有的实数没有算术平方根(5)所有菱形都是正方形；(6)xR，x2+2x+40；(7)质数都是奇数；(8)xR，x2+2x+4=04判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有理数都能写成分数形式；(2)任一实数乘零都等于零5判断下列命题的真假：(1)xR，x10=x；(2)xR，x10=x6判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断命题的真假：(1)矩形的对角线互相平分；(2)有一个偶数是质数；(3)一切正方形是矩形7举反例说明下列命题是假的：(1)xR，x0；(2)xR，x2+2x308写出下列命题的否定，并判断真假：(1)xR，2x2x+40；(2)x0，2，4，4x20；(3)xN，x2+x+22x+2；(4)xN*，使x为11的约数9写出下列命题的否定，并判断真假：(1)矩形的对角线相等；(2)平行直线的倾斜角相等；(3)3是方程x29=0的根 (4)有些三角形是直角三角形10设集合M=1，2，4，6，8，10，12，试写出下列命题的否定，并判断真假：(1)nM，都有n 0和a2x2 + b2x + c2 0的解集分别为集合M和N，那么= = 是M=N的_条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)分析：题中要判断Q ： = = 是P ：M=N的什么条件，若QP，则Q是P的充分条件；若PQ，则Q是P的必要条件；若PQ，则Q是P的充要条件判断时，先设Q成立，举反例说明QP不成立，同样设P成立，举反例说明PQ不成立，则可说明Q既不是P的充分条件，也不是P的必要条件解：当= = 时不一定有M=N若取a1 = 1， b1 =3， c1 =2，a2 =1，b2 = 3，c2 =2， 则 = =，但不等式x23x + 20与x2 + 3x2 0的解集分别为M=x|x2，N=x|1x 0与x2 + x + 3 0的解集都为R，即M=N =R，但是此时a1=1，b1=1，c1=1，a2=1，b2=1，c2=3，对应项的系数不成比例，因此 = =不是M=N的必要条件综上所述， = = 是M=N的既不充分也不必要条件点评：判断充分条件、必要条件与充要条件的方法，通常有以下几种：(1)直接利用概念判断 如果p q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件； 如果p q，那么p是q的充要条件判断时可直接根据充分条件、必要条件、充要条件的概念，找到条件p和条件q的关系，判断其充要性(2)利用命题的真假性判断 如果命题“若p则q”为真，那么“p q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果命题“若p则q”的真假难以判定，那么可考察其逆否命题“若非q则非p” 的真假如果“若非q则非p”为真，即“非q非p”，那么“p q”，p是q的充分条件，q是p的必要条件因此，可利用命题(或其等价命题)的真假性来判断条件的充要性(3)利用关系结构图判断对于涉及到多个条件的充分条件、必要条件、充要条件的判定，可先画出它们的关系结构图，再予以判定(4)利用集合知识判断充要条件还可以从集合的包含关系的角度来理解，它们之间有这样的对应关系：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A = B，则p是q的充要条件即A B与p q是等价的； A = B与 pq 是等价的根据这个对应关系，有时可以更方便地判断条件的充要性例2 若，为常数，且求对所有实数成立的充要条件（用表示）解：恒成立（*）因为所以，故只需则（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：点评：本小题是2008年江苏卷试题，主要考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用三、单元自测(一)填空题(每小题5分，共70分)1下列语句中是命题的是_ 周期函数的和是周期函数吗? 梯形是不是平面图形呢?2在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的是_ 3有下述说法：是的充要条件 是的充要条件 是的充要条件则其中正确的说法个