陕西高中数学第一章推理与证明点拨综合法与分析法解题全过程素材北师大选修22

综合法与分析法解题全过程分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.一. 综合法综合法：从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证结论,这种证明方法叫做综合法。用综合法证明命题的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.例1、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列,转化为符号语言就是.此时如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C 因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C=由得B=.由a, b，c成等比数列有.由余弦定理及，可得. 再由得., 因此.从而A=C. 由得:A=B=C=.所以ABC为等边三角形说明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来例2、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。说明：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。2. 分析法分析法：从待证结论出发,一步一步地寻求求结论成立的从分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实,这种方法叫做分析法用分析法证明命题的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因.分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真.而已知A为真，故命题B必为真.例3、求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得 即 因为成立，所以成立即证明了.说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真在本例中，如果我们从“2125 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例4 已知，且 求证：。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系:，于是，由 2一2 得把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为:,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的证明：因为，所以将 代入，可得. 另一方面，要证 即证 ， 即证，即证，即证。由于上式与相同，于是问题得证。例5 .证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明.证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 ,两边同乘以正数，得.因此只需证明,而该式是成立的，所以.这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截