常见函数极限的求法

.常见函数极限的求法（西北师范大学 数学与统计学院 甘肃 兰州 730070）摘要 极限是高等数学最重要的概念之一，也是高等数学的主要运算微分法和积分法的理论基础，本文用实图论述了求极限的几种方法，介绍了求极限的一些技巧。关键词 常用函数 极限 求解方法 技巧 洛必达法则Common functions to limit(Northwest Normal University School of Mathematics and Statistics Lanzhou Gansu 730070)Wan Fang JunAbstract Extreme is one of the most important concepts of higher mathematics, major operators are also higher mathematics-the theoretical basis of differentiation and integration with examples of this article discusses several common methods seek limits, limits introduced seeking some tips.Keywords Common functions Limit Solving methods Techniques Hospital Rule 第一类 数列极限的求法归纳 一 数列极限的定义 定义 1 设为数列。若对任给的数，总存在整数,使得当时有则数列收敛于，定数称为数列 的极限，并记作或 定义2任给，若在之外数列中的至多只有有限个，则称数列收敛于极限. 二 求数列极限的方法 方法一 利用数列极限定义求极限 方法 要点 要证明,按定义；，当时，有，就是要根据找，一般有三种方法； 1（等价代换法求最小的额），将绝对值不等式作等价代替解不等式，解出然后令，则时，有. 2 （放大法）有时很难解出,只好将表达式简化、放大,是之成为的新函数记作；于是，要，只要即可，解不等式，求得于是令，则当则时，有. 3（分步法）有时特别复杂，无法进行放大简化，只有设定已足够大，例如已大过某个数，我们发现当时，可简化，放大成，即, 于是解不等式，求得,则令当时，有.例1 法证明.证明 （放大法），要记此式可改写成 得（当时），至此要，只要，即，故令则时，有. 例2 设（有限数），试证： 证 （分步法）当为有限数时，又因，故，时，从而上式注意到已为定数，因而当时，于是令则时， 拟合法 要点 为了证明，关键问题在于证明能任意小.为此,一般来说应尽可能将的表达式简化.值得注意的是,有时虽然不能简化,反倒是可以把复杂化,写成与相类似的形式,这种方法称为拟合法. 例3 设时,试证证 注意到，所以,从而 .若我们能证明分大时,则（1）式有端问题获证.要证明(2)式,亦即要证明事实上,因为（当）,因此当时有于是,令则时, 从而按式有式成立. 方法二 用Cauchy准则求极限 Cauchy准则 数列收敛时,有Cauchy准则的优点是没有必要事先知道极限的猜测值例4 设试证收敛.证明 因收敛,获证.方法三 利用单调有界原理求极限单调有界原理:设数列递增有上界,则存在且有,或设数列递减有下界则存在且有 例5 证明数列单调递减有界,从而有极限证明 利用不等式有故严格单调递减.又因即有下界.单调递减有下界故存在. 方法四 利用数列与子列的极限关系求极限 数列与子列有如下极限关系例6 试证证明 只需证明充分性,按已知条件于是令则时恒有故方法五 利用数列极限的运算性质求极限数列极限的运算性质若与为收敛子列,则也都是收敛数列,且有特别当为常数时有若再假设及,则也是收敛数列,且有例7 举例说明无穷多个无穷小量之积可以不是无穷小量.解 如下数列均是无穷小量:但将它们对应项连乘起来取极限,得到一个新数列,此数列为该极限为1,不是无穷小量.方法六 利用已知极限求极限要点 在知道一些简单函数或特殊函数的极限的情况下,我们可以再求极限的过程中,把一些复杂的函数化成这些简单函数或特殊函数的形式,利用这些函数的极限,可以较容易的求出复杂函数的极限.例8 求极限解 由于当时,又故 方法七 利用变量替换求极限 为了将未知的极限简化,或转化为一直的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程转化为新的极限过程.例9 若试证证明 令则时，.于是当时，第二三项趋近于零,现证第四项极限亦为零.事实上，因（当时）,故有界,即,使得故从而以为极限.第二类 函数极限求法归纳一 函数极限的定义定义1 设为定义在上的函数,为定数，若对任给的存在正数,使得当时有则称函数当时以为极限,记作或定义 2 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当时以为极限. 定义3 设函数在或上有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有,则称为函数当趋于时的右或左极限,记作.或右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右极限与左极限又分别记作二 求极限的方法方法一 利用函数极限的定义求极限 利用定义1求极限.例1 证明证明 任给所以利用定义2求极限.例2 设证明证明 由于当时,故对任给的只要取则当时,有这就证明了 利用定义3求极限.例3 讨论函数在定义区间端点处的单侧极限.解 由于,故有.于是取成立.这就推出类似的可得方法二 利用两边夹准则求极限要点 当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量做适当的放大和缩小,使放大和缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同.则原极限存在且等于此公共值.在函数极限的性质中有迫敛性:且在某有例4 求解 由此当时,当时故 例5 利用迫敛性求函数极限.解 因有由于所以方法三 利用Taylor公式求极限要点 设在点具有阶导数,则在点的Taylor公式为特别,当时,上述公式称为的迈克劳林公式.例6 求极限解 方法四 利用极限的四则用算法则求极限 极限的四则用算法则:若 . 例8 求 解 由于因此 方法五 利用洛必达法则求极限 要点 此方法适用于型. I 型不等式极限 若函数和满足: 在点的某空心邻域内两者都可导,且 II 型不等式极限 若函数和满足: 在点的某空心邻域内两者都可导,且 例9 求的极限. 解 由于,所以分子分母同约去非零因式,得方法六 利用换元法求极限要点 如果一个函数的解析式比较复杂时,可采用换元的方法加以变形,使之简化变得易求.例10 求.解 令则方法七 利用微分中值定理求函数极限要点 微分中值定理是一系列中值定理的总称,时研究函数的有利工具,它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理等.例11 计算解 设则在上连续,在内可导.于是使用微分中值定理可得.则第三类 求多项式函数极限的方法一 求其中为多项式函数.要点 利用函数连续性直接代值,例1 计算.解.二 求均为多项式函数,且当趋近于时,不趋近于0.要点 利用函数连续性直接代值,.例2 计算.解.三 求均为多项式函数,且当趋近于时,与均趋近于0.要点 将分子分母因式分解,消去零因子.例3 求解.解四 求均为多项式函数,且趋近于.要点 将分子分母同除以的最高次幂.例4 求解.解一般地,对于求,当分子的次数高于分母的次数,该函数极限不存在;当分子的次数低于于分母的次数,该函数极限为0;当分子的次数等于分母的次数,该函数极限等于分子分母的最高此项的系数之比. 第四类 定积分极限求法归纳 一 定积分及极限的定义定积分 设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入个分点将分成个区间,记做乘积,把这些乘式相加得到和式,设,若极限存在唯一且该极限值与区间的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记坐,即.否则称在上不可积.一 应用定积分求极限要点 如果函数在区间上连续,将区间进行等分, 且.例1 解则上式可以看作在上的一个积分和,它是把分成等分.取的右端点构成的积分和,由定积分定义可得 三 Heine归结原理 设在内有定义,存在的充要条件:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等. 利用Heine归结原理证明函数极限的存在性.要点 如果存在两个数列,有,且,但,则在处极限不存在.用归结原理证明单调函数的单侧极限存在定理.若函数在有定义,且单调增加,则极限都存在,且证明 在内任取单调增加数列且由于在内是单调增加的,所以数列也是单调增加的,且有上界,由单调有界定理可知数列收敛,设,则有根据归结原理得.同理可证.定理得证.从上面证明过程可知,在证明某一极限存在时,我们可以根据归结原理去寻找任意一个数列,使它满足都以为极限且与它们对应的函数系列的极限都存在来证明函数极限的存在.以上求函数的方法是一些函数极限最基本且常用的方法,在不同的函数类型条件下所采用的技巧是各不相同的,对于找到解决问题的方法是至关重要的.极限的求法虽有一定的规律可循,但也绝不能死搬硬套,因为有的题目可能有多种解法,因此只有不断摸索、总结领悟各种方法的精髓,才能更能的掌握极限的求法.参考文献1 华东师范出版社.数学分析（第三版）M高等教育出版社,2001.2 裴礼文.数学分析中