小升初整除与余数问题

奥数知识点：数的整除与余数一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。练习1：判断这九位数能否被11整除?练习2：判断是否是7的倍数?练习3：判断能否被13整除?整除问题练习：例1：有一个能同时被2、3、5整除的数，已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12，那么，这个数的个位上的数字是()。例2：能被5、4、3整除的最大四位数是()。例3：四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_例4：在“2579这个数的内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_.例5：173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？例6：一个两位数或三位数，是11的倍数，且它的各位数字和为17，这样的数最大是()。例7：有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。例8：上课时，小丸子的老师告诉大家：“数字中存在这样一些四位数，将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被4整除，后面的数能被5整除。而这个四位数本身还能被7整除。”小丸子通过一系列计算知道了所有这样的四位数中最小的一个，那么它应该是( )。例9：在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？例10：试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13。例11：4228是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？例12：从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少号？例13：三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“275”元，求每位学生最多可能交多少元？例14：小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个完全相同的文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗？例15：小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢？例16：1-100内，所有不能被3整除的数的和是（ ）例17：在1-1040间选出一些数，使任意两数之和是34的整数倍，最多可选()个。例18：例19：例20：例21：一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰好是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个的末位数字。例22：一队少年儿童不超过50人，围成一圈做游戏。每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。请你判定，这队少年儿童最多有多少人？为什么？例23：两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同，请写出所有满足上述条件的两个整数。练习1：已知一个五位数691能被55整除，求所有符合题意的五位数。练习2：如果从5、6、7、8、9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被3、5、7整除，求这些数中最大的四位数。 练习3：三个连续正整数的乘积恰能被1-100这连续的100个自然数之和所整除。请写出这样的三个连续正整数乘积的最小值。余数问题基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：（1）余数小于除数。（2）若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。（3）a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。（4）a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。余数问题练习：例1：用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。例2：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。例3：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。例4：有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人?例5：有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数。例6：若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_练习1：1013除以一个两位数，余数是12求出符合条件的所有的两位数练习2：一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。练习3：有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余