2020届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试数学（理）试题

页 1 第 哈尔滨市第六中学哈尔滨市第六中学 20192019- -20202020 学年度上学期期末考试学年度上学期期末考试 高三理科数学高三理科数学 考试说明：考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字 迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第卷（选择题第卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1 已知复数 i i z 1 2 3 ，则z（ ） A.i1 B.i1 C. 2 31i D.i 31 2.已知集合, 02| 2 ZxxxxA，集合2 , 1 , 0 , 1B，则 集合BACZ)(的子集个数为 （ ） A. 3 B.4 C.7 D.8 3.已知函数x x xfsin) 1 2 cos2()( 2 ，则函数)(xf的最小正周期和最大值分别为 （ ） A.和1 B.2和1 C.和 2 1 D.2和 2 1 4.已知向量)2 ,(xa ，) 1 , 2(b，若bba )(，则实数x的值为（ ） A. 2 1 B. 2 3 C. 2 5 D. 2 7 5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减 一半 ，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人要走 378 里路，第一 姓名 班级 装装 订订 线线 考号 页 2 第 天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了 ( ) A24 里 B48 里 C96 里 D192 里 6.已知函数 1 )( 1 x e xf x ，则函数)(xf在1x处的切线方程为（ ） A.014 yx B.014 yx C. 0 yx D. 034 yx 7.设函数 0, 12 0,log )( 3 x xx xf x ，若2)(af，则实数a的值为（ ） A.9 B.0或9 C. 0 D. 1或9 8.已知双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左右焦点分别为 21,F F，点P是双曲线C右支上一点，若 | 221 PFFF，30 21F PF,则双曲线C的离心率为（ ） A.13 B. 2 13 C.15 D. 2 15 9.某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了 6 名教师和 2 名中名层干部去 2 所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派 3 名教师和 1 名中层干部，则 该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A.160 B.80 C.40 D.20 10.已知FE,分别为矩形ABCD的边AD与BC的中点，M为线段EF的中点，把矩形ABFE沿EF折 到FEBA 11 ，使得90 1ED A,若ABAD2，则异面直线MA1与DB1所成角的余弦值为（ ） A. 15 15 B. 10 15 C. 5 15 D. 5 5 11.已知圆1: 22 yxO,过直线02: yxl上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别 为BA,过BA,两点的直线与坐标轴分别交于QP,两点，则OPQ面积的最小值为（ ） A.1 B. 2 1 C. 4 1 D. 8 1 12.已 知定义 在R上的偶函 数)(xf满足)()2(xfxf， 且 1 , 0x时，xxf)(， 则 函数 xxfxgcos)()(在4 , 2x上的所有零点之和为（ ） 页 3 第 A.2 B.4 C.6 D.8 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 本试卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考 题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分将答案填在机读卡上相应的位置分将答案填在机读卡上相应的位置 13.在 6 ) 2 ( x x的展开式中， 3 x项的系数为_. 14.已知水平放置的底面半径为 20cm，高为 100cm的圆柱形水桶，水桶内水面高度为 50cm，现将一个高 为 10cm圆锥形铁器完全没入水桶中(圆锥的底面半径小于 20cm),此时水桶的水面高度上升了 2.5cm, 则此圆锥形铁器的侧面积为_ 2 cm.（忽略水桶壁的厚度） 15.已知ba,均为正实数，若abba，则 a b a 4 的最小值为_. 16.已知抛物线)0(2: 2 ppxyC的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于BA,两点， 若FBAF2， 且弦AB的中点纵坐标为 2 2 ，则抛物线C的方程为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 在ABC中，设边cba,所对的角分别为CBA,， cb a C A 2cos cos . （）求角A的大小； （）若, 2bcABC的周长为73，求a的值. 18.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 如 图 所 示 , 四 棱 锥A B C DS 的 底 面 是 直 角 梯 形 ，SA平 面A B C D， 页 4 第 ADABCDAB,/,E为AB中点，且2, 4CDADAB. （）求证：BC平面SAC； （）若SC与底面ABCD所成角为45，求二面角ESCB的余弦值. 19.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知正项数列 n a的前n项和为 n S，若1 1 a, 1 2 nnn aaS. （）证明：当2n时，2 11 nn aa； （）求数列 n a的通项公式； （）设 n a nn ab 2 2 12 ，求数列 n b的前n项和 n T. 20.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知动点M到定点）（ 0 , 1F的距离与到定直线2x的距离之比为 2 2 . （）求动点M轨迹C的方程； （）过F的直线l交轨迹C于BA,两点，若轨迹C上存在点P，使OBOAOP 2 3 ,求直线l的方程. 页 5 第 21. .（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知函数8)(ln2)( 2 axxxf，Ra. （）证明：当1a时，函数)(xf在区间），（0上单调递增； （）若1x时，0)(xf恒成立，求a的取值范围. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 sin cos1 y x （为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin32. （）写出曲线 1 C的极坐标方程，并求出曲线 1 C与 2 C公共弦所在直线的极坐标方程； 页 6 第 （） 若射线）（ 2 0 与曲线 1 C交于AO,两点， 与曲线 2 C交于BO,点， 且2|AB， 求t a n 的值. 23.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 选修 45：不等式选讲 设| 1 |)( a xaxxf（0a） （）证明：2)(xf； （）若3)2(f，求a的取值范围. 页 7 第 2020 届理科数学期末试题答案 1-5 ADCDC 6-10 ABBCA 11-12 BC 13.60；14.3200 ,15.5; 16.xy4 2 17.解： （）因为 cb a C A 2cos cos 由正弦定理得 CB A C A sinsin2 sin cos cos 0sincos2sincoscossinBACACA 0sincos2)sin(BACA2 分 0sincos2sinBAB ,), 0(B, 2 1 cosA,), 0(A, 3 2 A5 分 （）由余弦定理得 2 cos2 222 222 cba Abccba 7 分 因为周长73cba，又2 22 ）（cba，9 分 所以273 22 ）（aa，所以7a12 分 18. 解（）证明 ：因为SA平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCSA-1 在直角梯形ABCD中，得出BCAC ，-2 分 又ASAAC,所以BC平面SAC.-4 分 （） 因为SA平面ABCD，所以SCA是SC与底面ABCD所成角， 45SCA，所以22 ACSA-6 分 以A为坐标原点，ASADAB,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系 面SCE的法向量) 1 , 0 ,2(n，-8 分 面SBC的法向量)2, 1 , 1 (m -10 分 3 6 ,cosmn -11 二面角 11 CDAC的余弦值为 3 6 -12 分 19.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解（）证明：2n时， nnn nnn aaS aaS 11 - 1 2 2 作差得 nnnnnn aaaaSS 111 22 页 8 第 nnnnn aaaaa 11 2 ，又0 n a ，所以有2 11 nn aa -3 分 （）因为2n时，2 11 nn aa，所以 n a的奇数项是以1 1 a为首项，2 为公差的等差数列；偶数 数项是以2 2 a为首项，2 为公差的等差数列； 所以12) 1(21 12 nna n ；nna n 2) 1(22 2 -7 分 所以nan-8 分 （） n n nb 2 212）（， 1 4 9 56 9 4 n n n T12 分 20.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）解（）设）（yxM,因为，M到定点）（ 0 , 1F的距离与到定直线 2x的距离之比为 2 2 ，所以有|2|xMF2 分 代入得1 2 2 2 y x 4 分 （）由题意直线l斜率存在，设),(),(),1(: 2211 yxByxAxkyl （2）联立方程得， ) 1( 1 2 2 2 xky y x ，0124) 12( 2222 kxkxk，0恒成立 12 22 12 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx ，-5 分 OBOAOP 2 3 ,所以, 2 3 , 2 3 2121 yyyxxx pp 代入椭圆有2 2 3 2 2 3 2 21 2 21 ）（）（yyxx，又22 2 1 2 1 yx，22 2 2 2 2 yx6 分 得223 4 9 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 ）（）（）（yyxxyxyx 02 2 3 2121 yyxx，9 分 得02)(212 2 3 2 21 2 21 2 kxxkxxk）（ 页 9 第 代入得 6 1 2 k11 分 直线方程l：) 1( 6 6 xy12 分 21.21. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） （） x axx xf )ln(2 )( 当1a时， x xx xf ) 1ln(2 )( 1 分 1ln)(xxxh， x x xh 1 )( ， 当10 x时，0)( xh，当1x时，0)( xh 所以)(xh在区间), 1 ( 增，在区间为) 1 , 0(上减 所以0) 1 ()( hxh，即0)( xf，所以函数)(xf在区间），（0上单调递增4 分 （）设 x axx xf )ln(2 )( axxxuln)( 0 1 )( x x xu，所以)(xu在), 1 ( 上单调递增,axu1)(5 分 （1）当01a，即1a时，)(xf在), 1 上是单调递增的，0) 1 ()( fxf，1010a 所以110a8 分 （2）当01a，即1a时，)(, 0) 1 (xuxu， 故存在唯一的), 1 ( 0 x，使0ln)( 000 axxxu，所以当 0 1xx 时，0)(xu，当 0 xx 时， 0)(xu，所以)(xf在区间),( 0 x增，在区间为), 1 ( 0 x上减 所以0)()( 0 xfxf，08)(ln2)( 2 000 axxxf，又axx 00 ln 得41082 0 2 00 xxx，10 分 又易得 00 ln xxa是a随 0 x而增大的，所以2ln241 a 综上：2ln2410a12 分 页 10 第 22 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分）解： （）曲线 1 C的极坐标方程为cos22 分 sin32