2020届青海省玉树州高三联考数学（文）试题（解析版）

2020届青海省玉树州高三联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求出集合A的范围，根据集合B为整数集，即可求得。【详解】解不等式可得集合因为集合所以所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。2若复数满足,则()ABCD【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：由，得，故选C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A4B5C8D9【答案】B【解析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.4若双曲线()的焦点到渐近线的距离是，则的值是（ ）ABC1D【答案】A【解析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离，故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.5已知变量，满足则的取值范围是A B C D【答案】A【解析】本道题目关键绘制出可行域，同时理解的意义，结合图像，即可得出答案。【详解】理解的意义,为点与连线的斜率,A(2,3)所以斜率为负数时满足,当(x,y)与平行的时候，无交点故，故选A。【点睛】本道题目考查了线性规划问题，注意理解题目的意义，即可得出答案。6在中，若，则ABCD【答案】A【解析】根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.【详解】即：本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.7中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）A48里B24里C12里D6里【答案】C【解析】根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.【详解】设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积【详解】由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成由已知图中数量可得：故选【点睛】本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。9已知，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.【详解】有，得，由于，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.10如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为( )ABCD【答案】C【解析】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案【详解】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：则，则截面的面积故选【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。11函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先判断函数为偶函数，然后通过构造函数，可判断是单调递增函数，从而可得到时，即可判断时，从而可确定在上单调递增，即可得到答案。【详解】因为，所以为偶函数，选项B错误，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，故时，,即在上单调递增，故只有选项A正确。【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。12设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】有三个零点等价于与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.【详解】设，则，在上递减，在上递增，且时，有三个零点等价于与的图象有三个交点，画出的图象，如图，由图可得，时，与的图象有三个交点，此时，函数有三个零点，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题13某公司生产、三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，那么 .【答案】 【解析】试题分析：整体分为有明显差异的三部分（即三种不同型号的轿车），采用分层抽样，根据产量的比例，可知三种不同型号的轿车分别抽取即，依题意样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，所以.【考点】1.随机抽样中的分层抽样.14在等差数列中，Sn是它的前n项和，,则Sn最小时，n=_【答案】15【解析】设等差数列an的公差是d，利用等差数列的前n项和公式化简S10=S20，求出公差d的值，由此根据等差数列的前n项和公式求出Sn，利用二次函数的性质求出Sn的最小值和对应的n的值【详解】设等差数列an的公差是d，由a1=-29，S10=S20得， 解得d=2，则，当n=15时，前n项之和最小.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出Sn的最小值，属于中档题15椭圆：的两个顶点，过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），若，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】本题首先依题意可得直线：以及直线：联立椭圆方程可得、，再通过可得，即，最后得出椭圆的离心率。【详解】依题意可得，因为过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），所以直线：，直线：由，所以.由，所以，.因为，由可得，所以，椭圆的离心率，故答案为：。【点睛】本题考查椭圆及双曲线的离心率公式，考查椭圆及双曲线的几何性质，考查计算能力，考查化归与转化思想，属于中档题。16函数的值域为_【答案】【解析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案【详解】由题意，可得，令，即，则，当时，当时，即在为增函数，在为减函数，又，故函数的值域为：【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题三、解答题17如图，在四边形ABCD中，.(1)求的大小；(2)若，求AD的长【答案】（1）；（2）【解析】(1)本题首先可以在中通过解三角形面积公式计算出的长度，然后通过的长度等于的长度即可得出结果；(2)首先可以根据以及(1)中的结论得出的度数，然后通过余弦定理计算出的长度，最后在中通过正弦定理即可得出结果。【详解】（1）在中， 所以，又因为，所以；（2）因为，所以，由余弦定理得，所以，在中由正弦定理得，所以。【点睛】本题考查了解三角形的相关性质，主要考查解三角形正弦定理、解三角形余弦定理、解三角形面积公式的使用，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，是中档题。18为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性，在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生，计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分，并绘制成如图所示的茎叶图（1）请根据茎叶图判断，男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好？请用数据证明你的判断；（2）以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点，将各类人数填入如下的列联表：分数性别高于或等于x0低于x0合计男生女生合计（3）请根据（2）中的列联表，判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关？附：K2=P（K2k0）0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好证明略（2）见解析；（3）没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异【解析】（1）根据男生成绩分布在的较多，其他分布关于茎具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布茎70具有初步对称性，因此可判定男生成绩比女生成绩较好；（2）计算样本50个数据的平均值为，依次为分界点，将各类人数填入列联表即可；（3）根据公式，计算出的值，结合临界值表，即可得到结论【详解】解：（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好理由如下：由茎叶图可知：男生成绩分布在的较多，其它分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布关于茎70具有初步对称性因此男生成绩比女生成绩较好由茎叶图可知：男生组25人中，有17人（占68%）超过80分，女生组25人中，只有8人（占32%）超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩好由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是85分，女生组成绩的中位数是75分，8575，由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是834，女生组成绩的平均分是75.96分，因此男生组成绩比女生组成绩高或者，由茎叶图直观发现，男生平均成绩必然高于80分，女生平均成绩必然低于80分，可以判断男生成绩高于女生成绩（2）计算样本50个数据的平均值为，以此为分界点，将各类人数填入列联表如下：分数性别高于或等于0低于合计男生17825女生81725合计252550（3）计算得，所以没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异（或者回答为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异）【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中认真审题，根据独立性检验的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题19如图，菱形ABCD和直角梯形CDEF所在平面互相垂直，.(1)求证：；(2)求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)本题首先可以通过菱形和直角梯形所在平面互相垂直来证明出平面，然后通过平面证明出，再通过菱形的性质证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可证明出平面以及；(2)本题首先可以过点向做垂线，垂线就是四棱锥的高，再通过四棱锥的体积公式即可得出结果。【详解】（1）因为，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面， 因为平面，所以，因为四边形是菱形，所以，又因为平面、平面、，所以平面，又因为平面，所以；（2）如图所示，过点向做垂线，垂足为，即，因为平面平面，且平面平面，平面， 在直角三角形中有、，所以，所以四棱锥的体积。【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及四棱锥体积的求法，线线垂直可以通过线面垂直来证明，四棱锥的体积公式为，考查数形结合思想，考查空间想象能力，锻炼了学生的几何思维，是中档题。20设抛物线，点，过点的直线与交于两点（1）当点为中点时，求直线的方程；（2）设点关于轴的对称点为，证明：直线过定点【答案】(1) ；(2)见证明【解析】（1）由已知设的坐标，利用中点坐标公式得到的坐标，把两坐标代入抛物线方程，联立求得坐标，进一步求得直线的斜率，则直线方程可求；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再设的坐标，利用根与系数的关系及斜率公式可得的斜率，代入直线方程，化简整理即可得到直线过定点【详解】（1）设，则，由在抛物线上，得，解得，故的斜率为直线的方程为；证明：（2）由题意知，的斜率存在且不为0，设代入，得由，得设，则，故直线的方程为整理得：直线过定点（2，0）【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题21已知函数（，为常数）.（1）当时，若方程有实根，求的最小值；（2）设，若在区间上是单调函数，求的取值范围.【答案】(1) 最小值为0. (2) 【解析】（1）当时，利用导数求得的最小值为，所以，故的最小值为.（2）首先求得的解析式，利用二次求导的方法，结合在区间上是单调函数，将分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，.当时，为减函数；当时，为增函数.由，得，又，.即的最小值为0.（2），.设，则，可知在上为减函数.从而.当，即时，在区间上为增函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立.在区间上是减函数，故满足题意；当，即时，设函数的唯一零点为，则在上单调递增，在上单调递减.又，在上单调递增，在上递减，这与在区间上是单调函数矛盾.不合题意.综合得：.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单