三角函数命题趋势预测

2006年高考三角函数命题趋势预测纵观2005年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于三角函数的命题有如下几个显著特点：1.高考题型：三角函数的试题一般是两小题一大题.在2005年全国的31套数学高考试卷中，仅上海卷没有三角函数的解答题，其它的至少有一道三角函数解答题，而且都是处在解答题第1题的位置.两小题中多为选择题.2.难易程度：三角函数的解答题一般都为基础题，处在送分题的位置；而在两个小题中，有一个较容易，而另一个较灵活.3.高考热点：其一是考查三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析（对称轴、对称中心）等；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值和简单的综合问题等. 其三三角函数与向量结合。基于以上分析，笔者斗胆预测在2006年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为两小题一大题.主要考查“三基”（基础知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，难度多为容易题和中档题.其命题趋势如下：1.考小题，重在基础有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.示例1 若函数对任意都有，则=（ ）.A.3或0 B.或3 C.0 D. 或0解析：由，的一条对称轴方程为.而由三角函数的图象性质知，其对称轴所在的直线通过其图象上的最高点或最低点，于是或.故应选B.示例2：定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则（ ）.A. B.C. D.解析：，是以2为周期的函数.又在上是减函数，在上也是减函数，而又是偶函数，在上是增函数.又，.故应选A.示例3 对于函数，给出下列命题：存在，使；存在，使恒成立；存在，使函数的图象关于轴对称；函数的图象关于点对称.其中正确命题的序号是 .解析：，而.故存在，使.的周期为.若存在，使恒成立，则是它的周期，这与相矛盾.取，则.这是一个偶函数，它关于轴对称.点是与轴的交点，故函数的图象关于点对称.综上，应填入的答案为.2. 考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法.示例4 已知，求的值.解析：由，得.又，所以.于是.示例5 已知、成公比为2的等比数列，且也成等比数列，求、的值.解析：由、成公比为2的等比数列，所以.又成等比数列，.或（不合题意，舍去），或.或. 3. 考应用，融入三角形之中这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解.示例6 如图1，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，现要修建一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，现要求市中心与的距离为10公里，问把、分别设在公路上离中心多远处才能使最短，并求其最短距离（不要求作近似计算）.解析：在中，设，为正西方向，为东北方向，图1，=，（当时，等号成立）又到的距离为10，设=，则-，于是，时，等号成立（当，且时，等号成立）当时，最短，其最短距离为，即当、分别在、上离点公里处时，能使最短，其最短距离为公里.示例7 一个直角走廊宽为1.5m，如图2所示，有一转动灵活的平板手推车，宽为1m，问要顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？解析：设AB所在直线与走廊外轮廓线交于点，又设，则.图2，而， 令，则.又，.令，在上是减函数.当，即时，有最小值，从而CD的最小值是.故平板车的长度不能超过（）米.4. 考综合，体现三角的工具和传接作用由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角知识的考查总是与平面向量、数列、立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查，突出三角的工具和传接作用.示例8 设，与的夹角为，与的夹角为，且，求的值.解析：，.又，.，.，.，即.由，得.由，有，.示例9 已知O是锐角三角形ABC的外心，的面积数依次成等差数列.（1）推算是否为定值？说明理由；（2）求证：也成等差数列.解析：如图3所示，设的外接圆半径为R，则，同理：.图3成等差数列，即.，.又，故.又，.整理得 .（1）因是锐角三角形，可知，故为定值.（2）.，即成等差数列.最后，对正在紧张复习备考的广大高中生提几点备考建议，供参考.1. 切实掌握三角函数的概念、图象和性质近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象和性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的一个重点，在复习时应充分将数形结合起来，利用图象的直观性得出函数的性质，这样既利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.2.切实掌握三角函数的基本变换思想三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中必考，而且在图象与性质问题中也要考查，故有“没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用”之说，而解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想.3. 切实加强三角函数的应用意识既要注意在有些实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题；更要注意在代数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法.示例10 已知，则的取