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文档简介

向量与三角形问题http:/www.DearEDU.com李昭平 平面向量的应用十分广泛。由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。本文就此介绍几例，以供参考一、运用向量知识求三角形面积 例1. 已知ABC，试求ABC的面积。 解：因，所以，即，则，则ABC的面积为：。二、运用向量知识判断三角形形状 例2. 在ABC中，：1：2：3，试判断ABC的形状。 解：设，令a，。因，而，所以。同理可得，。 三式联立解得，显然，从而，故。 因此最大角的余弦为，最大角C为锐角，故ABC为不等边的锐角三角形。 注：设定比例常数k是解题的关键，同时注意向量之间的夹角和三角形内角的区分。三、运用向量知识处理三角形中最值问题 例3. 已知OFP的面积，且，问当c为何值时，取得最小值。 解：如下图，以O为坐标原点，直线OF为x轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），F（c，0）。设P（），则， ，得。 而，。 ， 当且仅当，即时等号成立。 故时，取得最小值。 注：建立恰当的直角坐标系，熟练进行向量的坐标运算是解题的关键。四、运用向量知识求三角形中相关量的值或范围 例4. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，求的值。 解：由，得 又因为a、b、c成等比数列， 即可得。 例5. 已知ABC的面积为S，且1，求内角B的取值范围。 解：， 即 又 得，即 ，于是。 注：弄清两个非
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