全程方略高中数学综合质量评估新人教A必修4

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 综合质量评估 新人教A版必修4 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013菏泽高一检测)cos-203的值是()A.12B.-12C.32D.-322.已知扇形的圆心角为23弧度，半径为2，则扇形的面积是()A.83B.43C.2D.433.已知sin-cos=2，(0，)，则tan=()A.-1B.-22C.22D.14.(2013浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A.，1B.，2C.2，1D.2，25.(2012安徽高考)在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量OP绕点O按逆时针旋转34后得向量OQ，则点Q的坐标是()A.(-72，-2)B.(-72，2)C.(-46，-2)D.(-46，2)6.在ABC中，AB=a，AC=b，且BD=12DC，则AD=()A.43a-13bB.23a+13bC.13a-43bD.13a+23b7.设a=12cos 6-32sin 6，b=2sin 13cos 13，c=1-cos502，则有()A.cbaB.abcC.acbD.bc0，00,0,|2的图象如图所示，则f(x)=.14.(2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为，DEDC的最大值为.15.(2013四川高考)设sin2=-sin，2,，则tan2的值是.16.关于下列结论：函数y=tanx在第一象限是增函数；函数f(x)=cos 24-x是偶函数；函数y=4sin2x-3的一个对称中心是6,0；函数y=sinx+4在闭区间-2,2上是增函数.写出所有正确的结论的序号：.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(-3，4).(1)求向量AB的坐标及|AB|.(2)求向量OA与OB的夹角的余弦值.18.(12分)(2013辽宁高考)设向量a=(3sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，x0,2.(1)若|a|=|b|，求x的值.(2)设函数f(x)=ab，求f(x)的最大值.19.(12分)(2013天水高一检测)已知a=(6，2)，b=(-3，k)，当k为何值时，(1)ab？(2)ab？(3)a与b的夹角为钝角？20.(12分)已知函数f(x)=sin2x+6+sin2x-6+cos 2x+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.(2)已知f()=5，求tan的值.21.(12分)如图，矩形ABCD的长AD=23，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限.求OB2的最大值.22.(12分)(能力挑战题)已知向量m=sin12x,1，n=43cos12x,2cosx，设函数f(x)=mn.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)，x-，的单调递增区间.(3)设函数h(x)=f(x)-k(kR)在区间-，上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围.答案解析1.【解析】选B.cos-203=cos203=cos6+23=cos23=-12.2.【解析】选D.由S扇形=12|R2，可得S扇形=122322=43.3.【解析】选A.将等式sin-cos=2两边平方，得到2sincos=-1，整理得1+2sincos=0，即sin2+cos2+2sincos=0，得(sin+cos)2=0，所以sin+cos=0，又sin-cos=2，故tan=sincos=-1.4.【解题指南】先利用公式把函数f(x)转化为y=Asin(x+)的形式再求解.【解析】选A. f(x)=sinxcosx+32cos2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+3，所以A=1，T=.5.【解析】选A.将向量OP=(6，8)按逆时针旋转32后得OM=(8，-6)，则OQ=-12(OP+OM)=(-72，-2).6.【解析】选B.因为AB=a，AC=b，且BD=12DC，所以AD=AB+BD=a+13BC=a+13(AC-AB)=a+13(b-a)=23a+13b.7.【解析】选C.由已知可得a=sin24，b=sin 26，c=sin 25，所以acb.8.【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定的值，将其中一条对称轴方程代入函数f(x)的解析式，求得值.【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期T=254-4=2，故=1，所以f(x)=sin(x+)，令x+=k+2，将x=4代入可得=k+4，因为0，所以=4.9.【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|a+b|2=|a-b|2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.10.【解析】选A.由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转215rad，所以=215；又水轮上的最高点距离水面r+2=5(米)，所以y的最大值A+2=5，A=3.11.【解析】选A.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=cosx+1的图象，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数解析式是y=cos(x+1)，此函数图象是A.12.【解析】选C.由OP1+OP2+OP3=0，知O为三角形的重心，由|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，知O为三角形的外心，所以此三角形为等边三角形.13.【解析】由题干图知A=2-(-2)2=2，T4=56-13，所以T=2，所以=，当x=13时，有13+=2+2k，kZ，又|2，故解得=6.故函数解析式为f(x)=2sin(x+6).答案：f(x)=2sin(x+6)14.【解题指南】可利用图形中的直角关系建系用坐标计算.也可以适当选取基向量进行计算.【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，设E(t，0)，0t1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，DE=(t，-1)，CB=(0，-1)，DC=(1，0)，所以DECB=1，DEDC=t1.方法二：选取AB，AD作为基向量，设AE=tAB，0t1，则DECB=(tAB-AD)(-AD)=-tABAD+AD222=0+1=1，DEDC=(tAB-AD)AB=t1.答案：1115.【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.【解析】根据题意sin2=-sin，可得2sincos=-sin，可得cos=-12，tan=-3，所以tan2=2tan1-tan2=-23-2=3.答案：316.【解析】函数y=tanx在k-2,k+2(kZ)上是增函数，不能说在第一象限是增函数，故错.因为f(-x)=cos 24+xcos 24-x，故不是偶函数，故错误.对于函数y=4sin2x-3，当2x-3=k(kZ)，即x=k2+6(kZ)，当k=0时，得到x=6，故6,0是该函数的一个对称中心，正确.函数y=sinx+4在-2,4上是增函数，在4,2上是减函数，故错误.答案：17.【解析】(1)因为A(1，2)，B(-3，4)，所以AB=OB-OA=(-3，4)-(1，2)=(-4，2).所以|AB|=(-4)2+22=25.(2)设OA与OB的夹角为.因为OAOB=5，|OA|=5，|OB|=5，所以cos=OAOB|OA|OB|=555=55.18.【解析】(1)由a=(3sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，得|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.又因为|a|=|b|，所以4sin2x=1.又x0,2，所以sinx=12，x=6.(2)函数f(x)=ab=(3sinx，sinx)(cosx，sinx)=3sinxcosx+sin2x=322sinxcosx+1-cos2x2=32sin2x-12cos2x+12=cos6sin2x-sin6cos2x+12=sin2xcos6-cos2xsin6+12=sin2x-6+12.因为x0,2，所以-62x-656，故-12sin2x-61，0sin2x-6+1232，即f(x)的最大值为32.19.【解析】(1)当ab时，6k-2(-3)=0，解得k=-1.(2)当ab时，ab=0，即6(-3)+2k=0，得k=9.(3)设a与b的夹角为，则cos=ab|a|b|0且ab|a|b|-1，得k9且k-1.20.【解析】(1)f(x)=2sin 2xcos6+cos 2x+4=3sin 2x+cos 2x+4=2sin2x+6+4.所以函数f(x)的最小正周期T=22=，最大值为6.(2)由f()=5，得3sin 2+cos 2=1，即3sin 2=1-cos 2，即23sincos=2sin2，所以sin=0或tan=3，所以tan=0或tan=3.21.【解题指南】设OAD=，求出B点的坐标，建立OB2关于的函数，求最大值.【解析】过点B作BHOA，垂足为H.设OAD=02，则BAH=2-，OA=23