天津红桥区高三数学一模理

天津市红桥区2015届高三数学一模试题 理（扫描版）高三数学（理）（2015、04）一、选择题：每小题5分，共40分题号12345678答案DBCBABCB二、填空题：每小题5分，共30分题号91011121314答案-2205三、解答题：共6小题，共80分（15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为，（）求的值及函数的单调递减区间；（）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值解：（），-4分（说明：两个公式，各占2分）因为，所以；.-6分（说明：公式1分，结论1分）当，函数单调递减，-7分所以，函数的单调递减区间为.-8分（）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，-10分在上单调递增，在上单调递减，所以在上最大值为，最小值为.-13分（16）（本小题满分13分）甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点，在点处投中一球得2分，在距篮筐3米线外设一点，在点处投中一球得3分.已知甲、乙两人在和点投中的概率相同，分别是，且在、两点处投中与否相互独立. 设定每人按先后再的顺序投篮三次，得分高者为胜.（）若甲投篮三次，试求他投篮得分的分布列和数学期望；（）求甲胜乙的概率.解:设“甲在点投中”的事件为，“甲在点投中”的事件为.（）根据题意知的可能取值为0,2,3,4,5,7， 6分023457P所以的分布列是： 8分（）甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为： 13分（说明：结论错，每种情况1分）（17）（本小题满分13分）如图，四边形为直角梯形，又，（）若是的中点，求证：平面;（）求与平面所成角的正弦值证明：（）方法一：取中点，因为四边形为直角梯形，又，则有平行四边形,所以,又是的中点，所以-4分（说明：一个线线平行2分）所以平面,平面,所以平面平面,而平面,所以平面;-6分（说明：一个线面平行1分）方法二：因为,所以，平面.-1分过点作,以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则,-3分（说明：对3个坐标1分）设平面的一个法向量，则即得一个，又，-5分故，所以，平面;-6分（），-8分（说明：对2个1分）设平面的一个法向量为，则，即，取则，得，-10分设与平面所成角为，则， 于是与平面所成角的正弦值为-13分（说明：公式2分，结论1分）（18）（本小题满分13分） 已知椭圆（）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.（）求椭圆的方程； （）过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于两点，探究直线是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由.解：（）依题意：，则，-2分（说明：离心率公式1分，结论1分）因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：与直线相切，所以，椭圆的方程：-6分（说明：确定值2分，a值1分，方程1分）（）依题意，斜率存在，设：，：，-7分设，将的方程代入椭圆得：， 所以，-9分将换成则所以，-10分所以，直线的斜率为：.-11分直线的方程为：，即，所以，直线过定点.-12分当时，,此时，直线也过定点故，直线必过定点.-13分（19）（本小题满分14分）各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，且（）（）求数列、的通项公式；（）令（），（1）求数列的前项和；（2）若，证明：对任意的整数，有（）=，=4，q=2，-3分（说明：通项公式2分，结论1分）b3=8. +2当n2时，+2 -得-4分即 =3，是公差为3的等差数列-5分当n1时，+2，解得=1或=2，当=1时，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，-7分（说明：没有分类扣1分）（）（1），-8分-得-9分-10分（说明：结论不整理不扣分）（2）若=，-11分-12分-13分.故( m4).-14分（20）（本小题满分14分）设函数，其中是自然对数的底数.（）当时，求函数的极值；（）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（） 1分当时，令，-3分x+0-0+f(x)增2减增所以，函数在时，取得极大值2；函数在时，取得极小值.-6分（）令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立. 当时，因为，所以0，0， 在内是单调递减函数，即适合题意； 8分 当0时，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即，在内为单调递增函数，故适合题意. 当0时，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故0适合题意.综上所述，的取值范围为 10分（）在上是减函数， 时，；时，即， 当