数学冲刺卷一

2006年高考数学冲刺卷一本试卷分第卷（选择题 共60分）和第卷（非选择题 共90分），考试时间为120分钟，满分为150分第卷 （选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设全集= 1，3，5，7，集合M = 1，| a5 |，M，=5，7，则a的集合为( )A2或8 B2或8 C2或8 D2或8 2球的截面把垂直于截面的直径分为13两部分，若截面圆半径为，则球的体积为( )A B C D3(理)= xbxc是1，1上的增函数，且0，则方程= 0在1，1内( )A可能有3个实数根 B可能有2个实数根C有唯一实数根 D没有实数根(文)已知= (xa)(xb)2，并且，是方程= 0两根，则实数a，b，的大小关系可能是( )Aab Bab Cab Dab4已知直线m平面，直线n平面，则下列命题正确的是( )A若，则mn B若，则mnC若mn，则 D若n，5已知ab0，、分别为圆锥曲线和的离心率，则lglg的值( )A一定是正数 B一定是零 C一定是负数 D以上答案均不对6已知函数y= 3sin(2x)，y= 4sin(2x)，则函数y = yy的最大值为( )A5 B7 C13 D7(理)已知函数= 3 (2x4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则F(x) = 的值域为( )A2，5 B C2，10 D2，13(文)点(m，n)在函数= a的图象上，则一定在函数 g(x) =logx (a0，a1)的图象上的点是( )A(n，m) B(n，m) C(m，n) D(m，n)8已知= |logx |，若，则x的取值范围是( )A(0，)(，) B(，) C(0，)(1，) D(，) 9设向量= (2sin，2cos) (0，向量= (，0)，则的夹角是( )A B C| D10(理)关于函数= sinx()，有下面四个结论：是奇函数；当x2003时，恒成立；的最大值是；的最小值是其中正确结论的个数为( )A1个 B2个 C3个 D4个(文)将函数y =sinx的图象向右平移个单位后，得到函数y =cos2x的图象，则可以是( )Acosx B2cosx Csinx D 2sinx11已知FF是双曲线y= 1的两个焦点，P在双曲线上，当FPF的面积为1时，的值为( ) A0 B1 C D 2 12(理)已知函数=在点x = 1处连续，则a的值是( )A2 B2 C3 D4(文)函数y = x2axa在(0，1) 内有极小值，则实数a的取值范围是( )A(0，3) B(，3) C(0，) D(0，)第卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13不等式1的解集为_14(理)已知数列a满足a=，a= a (n2)，则a的通项公式为_(文)已知点P是圆xy= 16上的一个动点，点A(12，0)在x轴上，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程是_15 设(1x)=，若=，则n =_16(理)正三角形ABC的边长为3，D、E分别为BC边上的三等分点，设AD、AE折起，使B、C两点重合于点P，则下列结论：APDE；AP与平面PDE所成的角的正弦值是；P到平面ADE的距离为；AP与底面PDE所成的角为arcccos，其中正确结论序号为_(把你认为正确的结论序号都填上)(文)三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA面ABC，且PA = AB，则二面角APBC的平面角的正切值为_三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分) (理)设xR，函数= cos()m (0，0已知的最小正周期为，且=m求和的值；求的单调递增区间；若x，时，函数的最小值为2，求此时函数的最大值，并指出x取何值时取到最大值(文)设函数= sinaxcosax (0a1，= tan(mx) (0m1，已知函数，的最小正周期相同，且= 2试确定，的解析式；求函数的单调递增区间 18（本小题满分12分）若数列a满足前n项之和S= 2a4 (nN*)，b= a2b，且b= 2，求： b的通项公式；ABCDPGFE b的前n项和T19(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC为直角，ADBC，ABAC，AB = AC = 2，G为PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF= 2FB求证：FG平面PAB；求证：FGAC；当二面角PCDA的正切值多大时，FG平面AEC? 20(本小题满分12分) (理)学校举行演讲比赛，某班计划从4名女生和2名男生中任选3人参加，设随机变量表示所选3人中男生的人数求的分布列；求的数学期望；求P(1)(文)在某次考试中，甲、乙、丙三人合格(互不影响)的概率分别是，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？21(本小题满分12分) (理)已知动点P与双曲线= 1的两个焦点、的距离之和为定值2a (a)，且cos的最小值为求动点P的轨迹方程；若已知D(0，3)，不同的两点M、N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围 (文) 过点P作曲线C：y = x的切线PA、PB，切点分别为A、B，且= 0求点P的轨迹方程；直线AB是否经过一个定点？若存在这样的定点，请求出此定点；若不存在，请说明理由求AB中点M的轨迹方程22(本小题满分14分)(理)已知函数=lnx求函数f (x)在区间1，的最大、最小值；求证：在区间(1，)上，函数的图象在函数图象的下方；设=，求证：22(文)某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：y与(ax)和x的乘积成正比；当x =时，y = a并且技术改造投入比率：(0，t，其中t为常数，且t(0，2求y =的解析式及其定义域；求出产品的增加值y的最大值及相应的x的值参考答案一、选择题1D2C3(理)C(文)A4A5C6D7(理)A(文)B8A9C 10(理) A(文)D11A12(理)C(文)D提示：1由题意可知| a5 | = 3，解得a = 2或a = 8，故选D 2设直径被分成的两部分分别为r、3r，由题意，()= r3r，解得r = 1，则球的半径R = 2，故R=，故选C3(理)由0可知，在(，)之间一定有解；又由是1，1上的增函数可知解唯一，故选C(文)注意到= 0，= 0，=20，借助于函数的图象即得A4在B中，m、n可能垂直；在C中，若mn，则、可能相交；D中，、也可能相交故选A 5lglg= lg() = lg= lg= lglg1 = 0，故选C6y = yy= 3sin(2x)4sin(2x) =sin2xcos2x =sin(2x)，因此函数y = yy的最大值为，故选D7(理)把点(2，1)代入 y = 3得b = 2，= 3，则= logx2，定义域为1，9，则F(x) = = (logx1)1，由1x3 (1x9)，得F(x)2，5，故选A(文)由(m，n)在函数= a的图象上，则(n，m)在= logx的图象上，所以(n，m) 在g(x) =logx的图象上，故选B 8当0x1时，logxlog3.50x；当x1时，logxlog3.5 x，所以x的取值范围是(0，)(，)，故选A9设其夹角为，则cos= sin= cos()，又因为0，所以=|，故选C 10(理) 因为= sinx()，显然=，所以错又当x2003时，()，而当sinx = 0时，故错如果，则sinx()，则sinx()1，所以sinx1()也不正确，故错当x = 0时，sinx = 0最小，且()=1也最小，所以01=，即函数的最小值是，即正确，故选A(文)y =cos2x向左平移个单位得：y =cos2(x) =coos(2x) = sin2x =2sinxcosx，所以= 2cosx故选D11由已知F(，0) ，F (，0)，P(，)，PF的斜率k=，PF的斜率k=，kk=1，PFPF，即= 0，故选A12(理)=(x3)= 4，=(ax1)= a1 = 4，解得a = 3，故应选C(文)= 3x2a = 0，解得x =，由题意知只要01，即0a，所以选D二、填空题13x | 0x114(理)a=(文)(x6)y= 415 1116(理) (文) 提示：13解0得，x1或x0，解4x(x1)，得x1，综合得不等式的解集为x | 0x114(理)aa=()，a= a(aa)aa)(aa) =(1)()() =(1) =，故a=(文)令M(x，y)，P(x，y)，则x= 2x12， y= 2y，因为P(x，y)在圆xy= 16上，所以(2x12)(2y)= 16，即(x6)y= 415 =，=，由=可求得n = 1116(理) 由题作图可知：AD = AE，PDE为边长为1的等边三角形，AP = 3，AF =ADPFE16题图对结论：取DE中点F，则可知AFDE，PFDE，故DE面APF，所以DEAP，故结论正确；对结论：由可知点F为点A在面PDE上的射影，故APF为AP与面PDE所成的角，因为AP = 3，PF =，AF =，所以cosAPF =， 并且sinAPF =，故结论正确；对结论：APDE，P到平面ADE的距离h为APF中P到AF边的距离，APPFsinAPF =AFh，解得h =故结论正确；对结论：由可知，AP与底面ADE所成的角为arcccos，故结论不正确故正确结论的序号为(文)取PB的中点E，AB的中点D，连结AE、CD，则AEPB，CD面PAB，CPBDAEH16题图过D作DHPB，垂足为H，连结CH，则PBCH，DHC为二面角APBC的平面角，在RtDHC中，若设ABC 的边长为a，则tanDHC =三、解答题17(理)解：= cos()m =1cos()m =cos()m的最小正周期为，=，解得= 1 =cos()m=m，cos() =0， =，解得= 由得=cos()m，当时，即x (kZ)时，单调递增，的单调递增区间为， (kZ) x，2x，cos()1 当cos()=时，原函数取得最小值2，即m= 2，解得m =且当cos() =1，即2x= 0，x =时，取得最大值(文)解：= 2sin(ax)，其最小正周期为，的最小正周期为，=，解得a = 2m 由= 2及a = 2m，得2sin2(m)= 2tan(m)，2sin(m)cos(m) = 0m1，m1，sin(m)0，cos(m) =，m=，解得m =，a =2sin(x)，= tan(x) 由x，得12k5x12k1，kZ，函数的单调递增区间是12k5，12k1 (kZ) 18解：当n2时，a= SS= 2a42a4，即得a=2a， 当n = 1时，a= S= 2a4 = 4，a= 2，b=22b，= 1，是以1为首项，以1为公差的等差数列，= 1(n1)1 = n,b= n T= 12n，2T= 12(n1)n，得：T=n=n，T= (n1)219(九A解法)：连结CG并延长交PA于点M，连结BMG为PAC的重心，CGGM = 21又CFFB = 21，FGBM又BM平面PAB，FG平面PAB，FG平面PABPA平面ABCD，PAAC，又ABAC，PAAB = A，AC平面PAB，ACBM由已证FGBM，FGAC连结EM，由知FGAC，FG平面AEC的充要条件是FGAE，即BMAEE、M分别为PB、PA的中点，EM=BA= 1，EMPA设EABM =H，则EH =HA设PA =，则EA =PB=，EH =RtAME RtMHE，EM= EHEA，1=，解得=在直角梯形ABCD中，由已知可求得AD =PA平面ABCD，ADCD，PDCDPDA为二面角PCDA的平面角，并且二面角的正切值为2当二面角PCDA的正切值为2时，FG平面AEC(九B解法)：以A为原点，以AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，并设P(0，0，)G为PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF= 2FB，G(0，)，E(1，0，)，F(，0)= (，0，)，= (2，0，0)，= (0，0，)设=y，则(，0，) = (2x，0，)，解得x =，y =，故=，与、共面又FG平面PAB，FG平面PAB= (0，2，0)，= 0，即FGAC由知FGAC，因此，FG平面AEC的充要条件是FGAE，即= 0又= (1，0，)，= 0，解得=在直角梯形ABCD中，由已知可求得AD =PA平面ABCD，ADCD，PDCDPDA为二面角PCDA的平面角，并且二面角的正切值为2当二面角PCDA的正切值为2时，FG平面AEC20(理)解：= 0，1，2且P(= k) = (k = 0，1，2)，所以的分布列为：012P= 012 =1P(1) = P(= 0)P(=1) =或P(1) =1P(=2) =1= (文)解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况. 三人都合格的概率；三人都不合格的概率为；恰有两人合格的概率；恰有一人合格的概率由此可知，最容易出现恰有人合格的情况21(理)解：依题意可知，P点的轨迹是以、为焦点的椭圆令P点的轨迹方程为= 1，则b= a5又且cos的最小值为，此时有=，=，即20 =，解得= 3，故b = 2由、联立解得a = 3故点P的轨迹方程为= 1点D在椭圆外，且=，满足0，直线MN交椭圆于M(，)，N(，)当MN与x轴垂直时，M(0，2)，N(0，2)或M(0，2)，N(0，2)，则=或= 5当MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y = kx3，代入椭圆方程整理得：(9k4)x54kx45 = 0，上式满足= (54k)4(9k4)450，即k，且=，=又= (，3) =(，3)，即=，将=代入=得，=，将=代入=得，=，将、联立消去得=，而k，则0，0，解得5，且1综上可得，11，5(文)解：设A(