数学总教程第3讲导数的应用

高考数学总复习教程第3讲 导数的应用一、本讲进度 2.4 函数的单调性与极值，课本P40P42 2.5 函数的最大值与最小值，课本P42P46二、学习指导导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b(ab)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1x2(不妨记x= x2x10). 恒有y1y2（记y= y2y10）. 于是A（x1，y1），B（x2，y2）两点间连线斜率=0. 从而=0. 由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1x2(不妨仍记x= x2x10). 恒有y1y2.记y= y2y10.则A、B连线斜率=0，从而=0. 所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能（但不一定就是）f(x)的一个极大（小）值. 但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边0，而在xo右边0，则f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo左边0，而在xo右边0，则f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f(xo)如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f(x)都大（小）. 则称f(xo)就是f(x)的一个极大（小）值. 且=0，但=0 . f(xo)却不一定就是f(x)的极值. 最值是整体概念，若f(x)的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）, 当然也有可能不存在 . 若f(x)的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f(xo)最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.三、典型例题讲评例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c当 x=1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f(x).与极值有关，当然先研究导函数，=3x2+2ax+b. 3和1应为其两根 ，第三个待定系数应由f(1)=7求出，得c=2，f(x)=x33x29x+2，从而求出极小值f(3)=25.例2要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？若记底面半径为cm，高为h cm，则r2h=50.表面积 *要求最值，先求导函数：. 知时，=0. 且时，0. 时, 0. 故当时S有极小值+=(cm2) .当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为. 等号当且仅当=. 即r =cm时.例3已知x、yR+. x22x+4y2=0. 求xy的最大值. 初看不知怎样下手. 记u=xy, 则有x22x+4=0. 即u2=f(x)= 它的定义域可用4y2=2xx20求得，为(0，2). 要使正数u取得最大值，须u2取得最大值. =. 当=0时，x=0(舍去)或，且当x（0，）时，0. 时，0. 故f(x)在x=时取得极大值. 它也是f(x)的最大值.由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值.本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了.例4已知f(x)=x2+1. g(x)=ff(x). (x)=g(x)+f(x). 问是否存在实数，使(x)在（，上单调递减而在，0上单调递增？复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题(x)=ff(x)+f(x)=(x2+1)2+1+(x2+1) =x4+(2+)x2+2+ (x)=4x3+2(2+)x. 令(x)0. 当2时, 为x0. 与已知不合. 当2时, x(, 0)(, +), 此时(x)在(, , 0, 单调递减, 而在, 0及, +）单调递增.由已知, =, 知=3.x1x1例5已知函数f(x)= 判断f(x)在x=1 处是否可导.按照定义，可导存在与均存在且相等.今知=. 而=.故不存在. f(x)在x=1处不可导. 在本题中，f(x)= f(x)=f(1)=1. 说明f(x)在x=1处连续. 但不能说明它在x=1处可导，这两者是必须分清楚的，连续是可导的必要条件.巩固练习1已知在函数y=x3+ax2a中，=0 且f(xo)=0, 则a的值为_2已知函数f(x)满足：f(3)=2, (3)=2, 则极限的值为_3已知函数f(x)=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，求a、b的值，并求出f(x)的单调区间.4过点P（2，2）作曲线S：y=3xx3的切线，可作几条？5已知曲线C1：y=3x4+a与曲线C2：Y=4x3有交点，且两曲线在交点处有相同的切线，求a的值.6讨论函数y=的单调性.7直角三角形铁皮ABC的斜边长AB=2, A=30O，现欲从角上剪去三块（图中阴影部分），用其余部分做成一个无盖的直三棱柱形铁盒，怎样下料可使铁盒容积最大？8如图，一个圆锥形容器底面半径为rcm，高为hcm. 现以ncm3/s的速率往容器内注水，求ts末水面上升的速率.9设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x=1及x=1处有极值，且f(1)=2a, 求证f(x)是奇函数.10x1, 求证：2x3. 11某物体一天中温度T（OC）是时间t(小时)的函数：T(t)=at3+bt2+ct+d. (a0) 当t=0时，表示正午12点的温度T（O），12点以后的时间为正，12点以前的时间为负。现测得该物体在上午8时的温度为8OC，12时的温度为60OC，13时的温度为58OC，且上午8时和下午16时的温度变比率相同.(1)写出T（t）的函数解析式；(2)求1012时（包含10时和12时）的最高温度12一种塑料包装罐如右图所示，下部为一个圆柱形，上部为一个半球形，球的半径与圆柱底面半径相同，由于机器每次注塑量已定（即已确定罐体表面积.怎样的尺寸能使其容积最大？参考答案1=3x2+2ax 当x=0或a时值为0 若xO=0，则a=0, a =0 若xO=a, 则（a）3+a（a）2a=0, a=0或3 a=0或3.2记x=3+x，则=3(3)+2=8.3=3x26ax+2b 由已知 解得此时=3x22x1 令0. 得x1或.f(x)在(，及1，+）单调增，在，1单调递减.4=33x2 过曲线上一点(xO，3xOxO3)的切线方程为y=(33xO2)(xxO)+ 3xOxO3.切线应过P（2，2）点，故有2=(33xO2)(2xO)+ 3xOxO3. 即xO33xO2+2=0有三个根1, 1. 故应有3条切线.5C1=12x3 C2=12x2 设公共点横坐标为xO则应有12xO3=12xO2. xO=0或1. 曲线C2上对应的点为(0，0)或（1，4） 亦应在曲线C1上， 故a=0或+1.6f(x)=与函数g(x)=(2x3)(3x)2有相同的单调性， (x)=15x2+36x=6(x25x+6) 令(x)0得x3或x2.f(x)在(，及3，+单调递增，在2，3单调递减.7BC=1, AC=. 盒底三角形两直角边长分别为x(0，)1xxcot30O=1(+1)x xxcot15O=(3+)xV=.令=0， 得x=(舍去)或.在（0，）. 0. 在(，). 0. 故当x=时V取得极大值，又x0或x时，V0当x=时，V最大.8t秒注水量V=nt=(x为水面高度). 即x=. 对t求导.= 即为所求.9 (x)=3ax2+2bx+c. (x)=0的两个根为1. 故b=0, c=3a. 从而f(x)=ax33ax+d又由已知 2a=a3a+d. d=0 .f(x)=ax33ax 为奇函数 .10即证2x33x2+10 . 作函数f(x)=2x33x2+1 . (x)=6x26x . 当x=1时，(x)=0 . 且x(0，1)时 (x)0，当x1时，(x)0. f(1)为极小值，且在1，+上单调递增. f(1)=23+1=0. 当x1时, f(x)0 即2x3(x1).11(1)(x)=3at2+2by+c. t=4与t=4时值相同，故t=0为其对称轴，b=0 .又由已知算得d=60. a=1. c=3 .T(t)=x33x+60 .(2)此时 当t=1时值为0, 且在2，1)及（1，2值为正，在（1，1）值为负，知T(t)在t=1时取极大值62，（t=1时取极小值）故11时温度最高为62OC.12设圆柱的底半径为r，高为h，则表面积 S=故V= = = 当时=0 且在（0，）时0. 而r时，0， 故当r=时V有极大值，也是最大值，为.六、附录例1(x)=3x2+2ax+b (x)=0的两根为3，1由韦达定理 .又7=f(1)=1+(3)+(9)(1)+c c=2 .极小值：f(3)=33+(3)32+(9)3+2=25 .f(x)=x33x29x+2 . 例2记底面半径为rcm，高为hcm，由已知，=50. 表面积S= =，令=0 ， 得r=. 且在为负，而当为r为正.故当r =时，S有最小值30（cm2）例3记u=xy, 则有x22x+4=0. 记u2=f(x)=. 4y2=(x22x)0 x(0,2)=， 当x=时， =0，且在(0,)上0, 在（，2）上0，f(x)在x=时取极大值. 相应地y=当x=时，有最大值 .例4(x)=ff