数学第一轮测3理

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案D2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)解析当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)答案D3对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法答案D4用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案A5用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)27用数学归纳法证明1n(nN，且n1)，第一步要证的不等式是_解析n2时，左边11，右边2.答案128如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*)行，在这些数中非1的数字之和是_111121133114641解析所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n三、解答题(共23分)9(11分)试证：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除证明法一(1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN*，命题都成立法二(1)当n1时f(1)64命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得，f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1时命题也成立根据(1)(2)知，对于任意nN*，命题都成立10(12分)已知数列an中，a1a(a2)，对一切nN*，an0，an1.求证：an2且an1an.证明法一an10，an1，an220，an2.若存在ak2，则ak12，由此可推出ak22，a12，与a1a2矛盾，故an2.an1an0，an1an.法二(用数学归纳法证明an2)当n1时，a1a2，故命题an2成立；假设nk(k1且kN*)时命题成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1时命题也成立综上所述，命题an2对一切正整数成立an1an的证明同上B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案B2用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析当n2时，a1a26a2，即a2a1；当n3时，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；当n4时，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an4已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)答案(5,7)三、解答题(共22分)5(10分)(2010全国)已知数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.()当n1时，a2ca1，命题成立；()设当nk(k1且kN*)时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由()()知当c2时，anan1.当c2时，因为can1an，所以acan10有解，所以an，令，当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)当nlog3时，an13，an13，与已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范围是.6(12分)(2012西安模拟)是否存在常数a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由解假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN*)时等式成立，即122232k2(