数学总教程第9讲指数函数与对数函数

高考数学总复习教程第9讲 指数函数与对数函数一、本讲内容 二、学习指导指数函数与对数函数的底a取值范围为(0,1)(1，+). 在底确定的前提下，指数函数与对数函数互为反函数，指数运算与对数运算互为逆运算.指数对数形式ab=clogac=b性质abac=ab+c=abc(ab)c=abclogab+logac=loga(bc)logablogac=logalogab=logablogab= logablogab logac= logab= logacb=clogab=(换底公式)指数函数与对数函数的性质，应结合它们的图象进行对比、记忆、要特别注意区分a1与a(0,1)这两种不同情况.三、典型例题讲评例1求函数y=|2|x2|2|的值域，单调区间，并作出它的草图.本题关键是理解并处理好两层绝对值的意义，作图时着重它由y=2x图象经过怎样的变化而得，而不能盲目列表作图。由f(x)=|2|x2|2|知f(x)=f(4x), x=2为其对称轴，故先考虑x2的一部分即可，此时f(x)= |2|x2|2|，当x3时值非负，故f(x)= 2x22 当x3 22x2 当x至此，值域单调性一目了然.例2f(x)=lg 若当x，时，f(x)有意义，就a的取值范围，又若a0，求证f(2x)2f(x).，应为f(x)定义域的子集，即当x，时，必使1+2x+4xa0，即a()x+()x.故当x，时，a大于右边最大值即可.第二小题中，即证()2. 可改写为了(1+22x+42xa)(1+2x+4xa)2.a0，故1，22x，42xa均为正数，且1+22x+42xa1+22x+42xa2. 再根据基本不等式，先证了3(a2+b2+c2)(a+b+c)2(等号当且仅当a=b=c时成立). 即可得到3(1+22x+42xa2)(1+2x+4xa)2的结论.例3某厂今年头三个月产量分别为1，1.2，1.3（单位：万件）四月初，甲、乙两统计员根据第一季度情况分别给出了全年产量模拟函数：甲：f(x)=ax2+bx+c 乙：g(x)=pgx+r(1)试写甲、乙所给的模拟函数解析式；(2)若该厂四月份实际产量为1.33万件，而五月份上半月产量超过了四月份同期水平，据此，你认为哪一个模拟函数较切实际？说明你的理由.两模拟函数中都各有三个待定系数，由前三个月数据不难求出具体解析式，据此推测发展趋势，看与实际的差距程度来到定孰优熟者，而不能拘泥于个制数据，立足于全局，放眼于未来，是本题立意所在。例4已知不等式loga(2)loga(ax)有且仅有一个整数解，求a的取值范围.整数解问题是同学们比较陌生的，而本题的“题眼”也正在于“整数解”.显然，不等式两边要有意义，须20，(当然也须ax0). 故整数解只可能是1、0、1中的一个，我们分别考察1、0、1是不等式解时，a的取值范围，（分别记为A、B、C）由逻辑关系，有且仅有一个整数解的a的取值范围为A(CR(BC)BCR(AC)CCR(BC)例5已知函数f(x)的函数是y=1. 函数g(x)的图象与函数y=的图象关于y=x1对称，F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式并写出它的定义域；(2)F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标，若不存在，说明理由f(x)的解析式可通过求反函数的步骤求出，而求g(x)的解析式，我们可有两种选择：设P(x,y)为y=g(x)的图象上任意一点，则它关于直线y=x1的对称点(，). 在已知曲线上，满足：y=；也可先把y=向左平均1个单位，得到y=，它关于y=x的对称图形的解析式为y=.再把它向右平均一个单位，得y=. 即为y=g(x)的解析式，而F(x)的定义域则应为f(x)与g(x)定义域的交集.在第(2)小题中，KAB=0，若存在，应有(x1，y). (x2，y) (x1x2)均在F(x)图象上.例6a、b为两上不同的正数，变量m(0,1)(1,+).(1)求证：过A(a, logma)、B(b, logmb)两点的直线恒过一定点；(2)求上述定点恰为坐标原点的条件；(3)中若1ab. 取m1=2，m2=8, 且log2a=log8b，求A、B两点的坐标.先写出直线AB的方程，要过定点，即与m无关，应把方程按m进行整理，令与m有关的项的系数为0，即可求设定点坐标，令此点标为(0,0)并进行化简，便可提出条件，再结合第三小题的特有条件，即可求出A、B坐标.四、巩固练习1已知集合A=x|x2axxa，B=x|1log2(x+1)2,C=x|x2+bx+c0(1)若AB=A，求a的取值范围.(2)若BC=，且BC=R，求b、c的值.2已知f(log2x)=(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)写出f(x)的单调区间；(3)讨论f(x+1)与f(x)的大小关系.3设函数f(x)=log(1)求f(x)的定义域；(2)求不等式f(x)0的解集.4设函数f(x)=(1)试判断f(x)的单调性，并证明之；(2)求证方程f1(x) =0有唯一解(3)解不等式：fx(x)5已知函数f(x)=log(x+a)的图象经过原点. (1)若f(x3)，f(1)，f(x4)构成等差数列，求x的值. (2)设g(x)=f(x)+1 m, nR+且n2=mt. m、n、t互不相等，比较g(m)+g(t)与2g(n)的大小.6已知f(x)=lg(1+x)x在上单调递减，解不等式；lg(1+)+lg217已知函数f(x)=是奇函数. (1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)k0时，解关于x的不等式；f1 (x)log28a(0,1)，f(x)=loga(x+). 已知关于x的方程f1 (x)+ax=k 在上有两相异实解，求k的取值范围，并求此两根之和.9已知常数a1，变量x、y满足3logxa+logaxlogxy=3 (1)若x=at(t0)，试以a、t表示y；(2)若t，y有最小值8，求此时a和x的值各为多少？10已知函数f(x)= (d0且d1)(1)求f1(x)(2)已知当f1(x)的定义域为a、b时，值域为logd，logd，试判断函数f1(x)的单调性(3)在(2)中，求d的取值范围.参考答案12x+122. x1，3 B=1，3 A= 1 当a=1 1，a 当a1 今由AB=A，知AB. a，1 当a1即由题得知，C=(，1)(3，+). b=3+1 b=4 c=31 c=32设t=log2x，则x=2x，故f(t)=|2t1| f(x)= 2x1 当x0 12x 当x0 它在上单调递减，在上单调递增. f(x+1)f(x)= (2x+11)(2x1)=2x 当x0 (12x)=32x2 当x 2x 当x1 故当xlog2时，f(x+1)大，当xlog2时，f(x)大，而为x= log2时，两者相等,3(1)令0，即1+2ax0. 当a=0，定义域为R，当a0时，定义域为(，+)，当a0时，定义域为(，)；(2)log0 01. 由(1)知，在定义域范围内，即解x22x+21+2ax. 亦即x22x(1+a)+10. 解集为1O 当a=0时 xR (x1)202O 当a0时 x(,+) x(1+a, 1+a+)原不等式解集为(1+a, 1+a+).(此时1+a)3O 当a时，x22x(1+a)+10解集为，从而原不等式解集为.4O 当a2时， x(, ) x(1+a, 1+a+)原不等式解集为(1+a, 1+a+) (此时1a+解得f(x)的定义域为(1，1)4(1) 0 x+20 当x(1，1)时，函数y=单调递减，函数y=1也单调递减，从而y=lg 单调递减. f(x)在(1，1)单调递减.(2)在f(x)=+lg中，令x=0，知y=，故x=是f1(x)=0的一个解，又f(x)单调减，故f1(x)也单调递减，故f1(x)=0至多一解.综上 f1(x)=0 有唯一解(3)由知，f(0)= ，故不等式即fx(x)f(0). 又f(x)为(1，1)上的减函数，故1x(x)0. 解集为(，0)(，1)5由已知，log(0+a)=0 a=1(1)2 log(1+1)= log(x3+1)+log( x4+1) x3 2=(x2)( x3) x=4(2)g(m)+g(t)2g(n)=f(m)+f(t)2g(n) = log(m+1)+ log(t+1)2log(n+1) = log(mt+m+t+1)log(n+1)2=log(mt+2+1)log(n+1)2 = log(n2+2n+1)log(n+1)2=0 g(m)+g(t)2g(n)6正确理解f(x)的含义，把不等式与f(x)挂上钩是本题的钥匙. lg(1+)lg(1+1)1 即f()f(1). 0x1 0 x1或1x1 0 x或0x不等式解集为 7(1)f(x)为奇函数. +=0(2a2)(2x+1)=0 a=1.(2)f(x)=1. 在R上单调递增，证明如下：对任意的x1x2. f(x1)f(x2)=(1)()=0. f(x)单调递增.(3)f1(x)=log2 x(1，1) 单调递增.原不等式同解于 x(1，1) x1k x(1，1)故当k2时，原不等式解集为(1，1)当k(0，2)，原不等式解集为(1k，1)8y=loga(x+) ay= x+ ay= x两式相.加ay+ay=2x f1(x)= xk 方程即k=. 记t=ax 则k= 任取t1t2. k1k2=. 故当t1，t21，时，k1k20，单调递减，当t1，t2，时，k1k20，单调递增，当t=时，k有最小值，当t=1或3时，k=2；当t(3,4)时，k(2,).y=ax单调，故对每一个适合题意的x，有且只有一个与之对应，故当k时，方程有两相异实解；ax1+x2=ax1ax2=t1t2=3 两根之和x1+x2=loga39由已知，3logxa+logaxlogxy=3. 换为以a为底logay=log2ax3logax+3=t23t+3(t0) y=a3t+3 当t=时，t23t+3有最小值，从而y有最小值a，令a=8，a=16.10(1)由y=知dx=. f1(x)=logd 又dx(0,1)(1,+) 原函数值域，亦即f1(x)的定义域(，)(，+)(2)若f1(x)单调递增，则 logd=logd logd=logd即 (da+2)(db1)=d(da2)(db+2)(da1)=d(db2) 两式相减，得3d(ab)=d2(ab). ba, d0 且1. 故无解；若f1(x)单调递减，则应有 logd=logd logd=logd即a、b为方程d2x2+d(1d)x+2(d1)=0的两不等根. =d2(d210d+9)0 d9或d(0,1).若d(0,1)由韦达定理知，方程一正根一负根，且负根绝对值大，正根 5d. 两边非负、平方925，不可能若d9, 由韦达定理，两根均正，小根，d5两边均正，平方259，成立 . d9此时f1(x)=logd(1+)单调递减.六、附录例12|x2| 2|x2|2. yy=|2|x2|2|的对称轴为x=2.又当x3时，y=|2x22|=2x22单调递增；当x2,3时，y=|2x22|=22x2单调递减；原函数在及2,3单调递减，而在1,2及单调递减. 图象如图1中的曲线 (表示废弃的部分)例2令0，当x1时恒成立，记2x=tg(t)=1+t+at2，t, 当a=0时，g(t)=1+t10;当a0时，g(t)在单调递增，g(t)g(0)=10；当a时，g(t)在单调递减，g(t)g(x)=4a+3，为正即可，故a(，0)综上a(，+)解法二 令1+2x+xa0. a()x+()x)，函数g(x)=(t2+t) t的最大值为g()=, a.解法三 令1+2x+xa0. a()x+()x)，、均为(0，1)中的数，y=()xy=()x均为减函数，从而y=()x+()x为增函数，最大值为()1+()1=a.证法一 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca. 三式相加有a2+b+c2ab+bc+ca3(a2+b+c2)(a+b+c)2. 其中等号当且仅当a=b=c时成立，又a 42xa42xa2从而3(1+22x+42xa)3(1+22x +42xa2)(1+2x+4xa)2 即f(2x)2f(x) 或中等号当且仅当x=0且a=1时取得.证法二 a，(y1)2+(y2x)2+(yxa)2+42xa(1a)0恒成立. 从而=4(1+2x+xa)212(1+22x+42xa)0 即()2恒成立.原不等式恒成立.例3由已知 f(1)=a+b+c=1 解得 p=0.05f(2)=4a+2b+c=1.2 q=0.35f(3)=9a+3b+c=1.3 r=0.7f(x)=0.05x2+0.35x+0.7. 开口向下，对称轴为x=3.5，故四月份应与三月份持平，且以后显下降趋势与四月及五月上半月显示的发展趋势介速；g(1)=pq+r=1 解得 p=0.8g(2)=pq2+r=1.2 q=0.5g(3)=pq3+r=1.3 r=1.48(x)= 0.80.5x+1.4，为单调递增函数，由后来的实际产量的，此模拟函数较符合实际.例4 20 x1，0，1xE 若1为原不等式的一个整数解，则有logaloga(a