研究指数函数的图像以及指数函数的性质教材分析人教

研究指数函数的图像以及指数函数的性质教材分析http:/www.DearEDU.com研究过程 教师：请坐在第1排的同学把桌子与第2排的拼起来，把身子转过去坐请第3排的、第5排的同学象第1排一样都这样做，每4个人分成一个小组请同学们打开图形计算器，用图形计算器画指数函数的图像今天要完成的任务是：观察指数函数的图像，通过研究指数函数的图像认识指数函数的性质学生活动，教师在学生中指导，重点关注某个小组的研究过程学生的活动：在各自的计算器上画出由自己随意选取底数a的值的指数函数的图像比如一个学生的计算器上出现的函数的图像如图3所示这里画出的是指数函数y2，y03， y21 ，y09 ，y3，y4，y01的图像教师询问学生选取了那些数作为底数a，并问为什么？可能的回答是“随意的”也可能回答分a1与0a1，再提问为什么？检查有没有选取负数和1作为底数的 图3教师：请大家根据所画出的指数函数的图像归纳指数函数的性质以及图像的分布规律容易发现：不论x取何实数，总有指数函数的图像在x轴的上方，即有xR， y0，也就是指数函数的定义域是R，值域是（0，）当底数a1时，图像都是上升的，即指数函数在（，）上单调增；当底数0a1时，指数函数的图像都是下降的，即指数函数在（，）上单调减不论底数a1还是0a1，总有指数函数的图像经过点（0，1），即当x0时总有y1当a1时，若x0，则有y1；当0a1时，若x0，则有y1当a1时，若x0，则有0y1；当0a1时，若x0，则有0y1甚至，还可以总结出：当底数a1时，底数越大，在y轴的右边越靠近y轴；当底数0a1时，底数越小，在y轴的左边越靠近y轴对于、两点，如果学生没有主动指出，教师可以提问学生，在什么情况下，函数值大于1？在什么情况下，函数值小于1而大于零？教师：我请各小组派一名代表小结你们小组所得到的结论请其他小组注意，第一，认真听取他的发言，并关注他们小组所得到的结果；第二，请你们对他们的发言作出补充意见，并且对他们的活动作出评价（包括结论的正确性、完整性以及活动是否认真）教师在小结学生发言时，注意纠正学生数学语言表达的准确性与完整性上的不足，注意使得学生总结的数学结论条理化，并且以表格的形式逐渐板书在黑板上或者在某位同学小结发言时，派一名同组的学生把这位同学的发言以表格的形式写在黑板上 （） （）图4可以形成下列表格：指数函数的图像特征和性质的分析图像特征函数性质（1）这些图像都位于x轴上方（1）x取任何实数值时，都有a0（2）这些图像都经过（0，1）点（2）无论a为任何正数，总有a1（3）图像可以分为两类图像（图4）在第一象限内纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1；图像（图4）正好相反（3）当a1时，当0a1时，（4）自左向右看，图像（图4）逐渐上升；图像（图4）逐渐下降（4）当a1时，ya是增函数；当0a1时，ya是减函数教学设想（1）函数图像是研究函数性质的直观工具，利用函数的图像便于学生发现、归纳、记忆函数的性质和分布规律为研究指数函数的性质，在传统的教学中，由于技术条件的限制，通常是在教师（或教科书）的要求下，学生用“描点法”（甚至只有教师用“描点法”在黑板上画图，而学生并不动手）作出有限的几个特殊函数的图像（甚至就是y2与y（）这两个函数的图像），然后就让学生观察这几个图像来讨论指数函数的性质在这样的教学过程中，学生对于为什么要画这几个函数的图像（即使有学生想画y21的图像，由于条件的限制也只好放弃了），为什么有限的几个函数图像就可以代表一般的函数的图像（由于技术原因，底数a是不能连续变动的，而在技术支持下可以观察底数a连续变动时，指数函数的图像的变化情况），为什么要把底数a分为0a1和a1这样两类等等，都是不得而知的这样的学习，不需要学生主动地提出问题，研究问题，过程是被动的，结论也显得牵强，他们甚至对所得到的结论表示怀疑或者勉强接受，并不一定完全相信（2）指数函数的图像和性质是本小节的重点，也是教学中的一个难点突出指数函数的图像与性质的研究与突破这一难点的关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响在指数函数性质的教学中，教师应该充分利用信息技术提供的学习环境，利用技术工具强大的作图功能，先引导学生（而不是教师自己做，让学生看！）随意地取a的值（不一定是2、3等简单数），并在同一个坐标系内画出它们的图像（理论上讲可以在同一个坐标系内画出任意多的函数图像）在学生利用工具作图的过程中，可以非常清楚地看到底数a是如何影响函数的性质的由于函数的图像随着0a1和a1而自然地聚集，学生就可以非常清楚地找到a1这条分界线，而函数的定义域、值域、单调性、特殊点（0，1）等更是一目了然在此基础上，如果再通过底数a的连续动态变化（如图5，可以让学生在几何画板软件环境中拖动点A，研究当底数a连续变化时，指数函数图像变化的情况如果学生所用的机器不便于操作，教师可以利用几何画板软件，演示当底数a连续变化时指数函数的图像的变化情况）来研究函数图像的分布情况，就会使学生更加确信指数函数的这些性质 图5（3）建构观下的学习活动建构主义认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”建构主义认为，虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建起自己的正确理解，这应该是学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四大要素或四大属性在以上的教学设计中，教师利用现代教育技术为学生的学习研究创设情景，让学生在自己的活动中，通过他们之间生动的丰富的“协作”、“会话”，完成对指数函数的认识意义建构这样的教学效果是传统的教学方式所无法比拟的在这样的教学中，对“为什么以a1为分界值”，“过点（0，1）为什么要作为性质之一”等等的指数函数的认识，都不是教师强加的，而是学生在自己的学习活动中获得的这样的教学设计，使得教学方式从“指定式”、“命令式”转变为“引导式”、“启发式”教学过程也是开放性的，学生的学习方式则从“服从式”、“接受式”转变成了“探索式”、“研究式”在信息技术环境中，就可以把教学设计的重点放在对知识的重新组织上，让学生从整体上对y=a进行处理，通过改变a的值而实现对函数y=a及其图像的实时变换（这里渗透了“参数思想”），这样就使学生顺利地实现了函数的解析式表示与图像表示之间的转换，并使“参数”a、函数y=a以及它的图像之间建立起联系，突破了由于数学的高度抽象性而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境，图像的直观可以引导学生把思考的重点放在a1和特殊点（0，1）上，从而顺利地概括出性质在这个过程中，还可以使学生体验到应当如何进行“数学研究”在信息工具所营造的认知环境中，学生可以从一种新的角度去探究数学问题，在一种动态变化的过程中去认识数学概念的本质例如，在y=a性质的讨论中，通过设计a的连续变化的程序（01），把函数的解析式表示、图像表示以及参数a之间的内在联系紧密地结合在一起，并使三者都得到了直观、动态的表示，这就使得学生所面对的数学对象和数学过程的性质发生了改变，这样必然会引起学生对数学概念本质的认识过程的变化在这样的认知环境中，操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，尝试错误的成分大大减少，数学思维