第11章+纠随机错误与纠突发错误卷积码.ppt

第11章纠随机错误与纠突发错误卷积码,11.1卷积码的大数逻辑译码11.2非系统卷积码的大数逻辑译码11.3纠突发错误卷积码的基本概念11.4交错码11.5岩垂(Iwadare)码11.6扩散卷积码11.7加拉格尔(Gallager)码习题,第11章纠随机错误与纠突发错误卷积码,11.1卷积码的大数逻辑译码,大数逻辑译码是门限译码的一种，1963年由梅西最早提出。1967年鲁滨逊(Robinson)等利用差集三角构造了一批可用大数逻辑译码的自正交码，用试凑方法构造了一些可正交码1。对卷积码来说，大数逻辑译码是卷积码代数译码中最主要的译码方法。它的译码原理与循环码的大数逻辑译码原理相同。这一节主要讨论系统码形式的自正交码与可正交码的大数逻辑译码方法，下节介绍非系统码的大数逻辑译码方法。,在(n0,k0,m)系统卷积码的任一码字中，任意连续m+1码段中的码元之间都必须满足由初始截短码的校验矩阵,所确定的校验关系。因此，若对第0子组的k0个码元位能组成J个正交一致校验和式的话，则可用大数逻辑译码方法纠正任意连续m+1段内，tJ/2个随机错误。可知，大数逻辑译码的译码约束度大都是m+1，且一般应用反馈译码。,一、自正交码先通过下面的例子说明自正交的含义。设有(2，1，6)系统卷积码，其子生成元为：g(1,1)=(1000000)，g(1,1)(D)=1；g(1,2)=(1010011)，g(1,2)(D)=1+D2+D5+D6。相应的校验矩阵,11001110001100100011000010001110000010001110100000100011,H=,设错误图样E=(e01e02，e11e12，e21e22，e31e32，e41e42，e51e52，e61e62)则伴随式为S=EHT=(s01，s11，s21，s31，s41，s51，s61),s01=e01+e02s11=e11+e12s21=e01+e21+e22s31=e11+e31+e32s41=e21+e41+e42s51=e01+e31+e51+e52s61=e01+e11+e41+e61+e62,式中,(11.1.1),由此7个方程看出，在s01，s21，s51和s61四个方程中，除了e01位以外，其它码元位至多只出现一次，从而组成了4个对e01码元位正交的一致校验和式。所以，e01码元位上的错误值，完全可由s01，s21，s51和s61的值确定，而它们的值则完全由H矩阵中第0、2、5、6行的校验关系决定。,定义11.1.1任一个(n0，k0，m)系统卷积码，若能由H矩阵中的Ji行(用S中的Ji个分量表示)，直接(不经线性组合)组成对e0i(i=1，2，k0，若为非系统码i=1，2，n0)，码元位正交的Ji个正交校验和式，则称此码为自正交系统卷积码；若码的最小距离dFD=J+1，则称为完备自正交码。,表111n0=2自正交系统卷积码,表11-2n0=3自正交系统卷积码,表11-3n0=4自正交系统卷积码,表11-4n0=5自正交系统卷积码,例11.1构造一个(3，1，2)和(3，2，2)码的自正交系统卷积码大数逻辑译码器。由表11-2知，对于n0=3，m=2，R=1/3，k0=1的(3，1，2)码来说有两个校验元；而对R=2/3，k0=2的(3，2，2)码来说有两个信息元。表中生成元列下面的数字是(0，1)和(0，2)，表示对(3，1，2)码来说，它的子生成元是：g(1,2)(D)=1+D，g(1,3)(D)=1+D2；对(3，2，2)码来说，其子生成元是：g(1,3)(D)=1+D,g(2,3)(D)=1+D2。由此不难得到(3，1，2)码的,G(D)=1，1+D，1+D2,H(D)=1+D，1+D2，1,显然它们互为对偶码。,由H(D)可以很快得到(3，1，2)码和它的对偶码(3，2，2)码的校验矩阵H，它们分别是：,行号码,行号码,由H1可组成(3，1，2)码的以下4个对e01码元位正交的校验和式：,s01=e01+e02s02=e01+e03s11=e01+e11+e12s22=e01+e21+e23,该码的d=J+1=5，能纠正连续(m+1)n0=9个码元内的两个错误。,由它的对偶码(3，2，2)码的H2矩阵，可得到两个对e01和两个对e02码元位正交的一致校验和式：,s0=e01+e02+e03s1=e01+e11+e12+e13,s0=e01+e02+e03s2=+e02+e11+e21+e22+e23,图11-1(3，1，2)码大数逻辑译码器,图112(3，2，2)码大数逻辑译码器,这两个译码器的工作过程大致如下：把接收到的R(D)中的每一段信息元送入编码器中求出校验元，与其后面收到的校验元模2加。若两者一致，则输出的伴随式分量si为0；否则为1。把加得的值送入伴随式寄存器中寄存。当接收完3个码段以后就开始对第0码段纠错，若此时大数逻辑门(或图11-1中的与1、与2门)的输出为1，则说明第0码段的信息元有错。这时正好第0子组的信息元移至编码器的输出端，从而把它们纠正。,同时，纠错信号也反馈至伴随式寄存器修正伴随式，以消去此错误对伴随式的影响。如果大数判决门没有输出，则说明第0子组的信息元没有错误，这时从编码器中直接把信息元输出。这样，译码器每接收一个码段，就对此时刻前m个时刻输入的码段译码。,所以，这类反馈大数逻辑译码器的译码约束度等于编码约束度，为m+1。由于伴随式寄存器中的数字大于一半为1时，大数逻辑门才有信号输出，所以每次对伴随式修正后，总使得伴随式重量减轻。可知这类自正交码的译码电路并不会引起误差传播，因此它的纠错能力虽没有可正交码高，但实际中仍有应用。,二、可正交码可正交码与自正交码相比，其纠错效率高，而实现编译码器的复杂性并不增加。但可正交码没有一般的构造方法，基本上只能用计算机搜索方法寻找，且仅局限于k0=1，R=1/2、1/3等情况。,可正交码与自正交码都可以用大数逻辑方法译码，但它们之间也有差别，主要在于自正交码的J个正交校验一致和式，是由H矩阵的行直接得到，而可正交码的J个正交一致校验和式，是由H矩阵的行经过线性组合后得到的。如一个(2，1，5)系统可正交码，它的一个子生成元为：g(1,2)=(100111)g(1,2)(D)=1+D3+D4+D5G(D)=1，1+D3+D4+D5,由此可知码的校验矩阵,设错误图样E=(e01e02，e11e12，e21e22，e31e32，e41e42，e51e52)，则相应的伴随式序列是S=EHT=(s0，s1，s2，s3，s4，s5),式中：s0=e01+e02s1=+e11+e12s2=+e21+e22s3=e01+e31+e32s4=e01+e11+e41+e42s5=e01+e11+e21+e51+e52,若取：A1=s0=e01+e02A2=s3=e01+e31+e32A3=s4=e01+e11+e41+e42A4=s1+s5=e01+e12+e21+e51+e52则A1、A2、A3和A4组成了4个对e01码元位正交的正交一致校验和式，它们分别是H矩阵第0、3、4行及第1和第5行的线性相加(模2和)得到的。,定义11.1.2任一个(n0，k0，m)卷积码，若可用H矩阵的某些行的线性组合，组成J个或更多个对每个e0i(0ik0，若为非系统码则0in0)码元位正交的正交一致校验和式，则称这类码为可正交码。若码的最小距离d=J+1，则称为完备可正交码。,得到了正交校验和式A1、A2、A3和A4后，可用大数逻辑译码估计e01码元位的错误值，从而纠正相继(m+1)n0=12个码元内的两个随机错误。一般而言，可正交码能够用反馈大数逻辑译码，纠正连续(m+1)码段内的J/2个错误。表11-5表11-7中列出了某些系统码形式的可正交码。表中的“正交化规则”一列中的数字，指明正交一致校验和式是由H矩阵的哪几行线性组合得到的，下面举例说明。,表11-5n0=2可正交系统卷积码,表11-6n0=3可正交系统卷积码,表11-7n0=5可正交系统卷积码,例11.2表11-6中的(3，1，4)码，d=7，子生成元列中的数字是(0，1)和(0，2，3，4)，表示两个子生成元多项式中系数取1的次数，可知生成元为：g(1,2)(D)=1+Dg(1,3)(D)=1+D2+D3+D4G(D)=1，1+D，1+D2+D3+D4相应的校验矩阵为：,行号码,表中“正交化规则”列中的数字是(02)、(03)、(12)、(23)、(1333)和(2243)，说明由H矩阵的第02、03、12、23行，及13和33行的线性组合、22和43行的线性给合，组成了6个正交一致校验和式：,A1=s01=e01+e02A2=s02=e01+e03A3=s11=e01+e11+e12A4=s22=e01+e21+e23A5=s12+s32=e01+e13+e31+e33A6=s21+s42=e01+e22+e41+e43,可知该码能用反馈大数逻辑译码、纠正连续5个码段中的3个随机错误。此码的对偶码是(3，2，4)码，它并不是可正交码，这一点正好与自正交码相反。此(3，1，4)可正交系统卷积码的反馈大数逻辑译码器如图11-3所示，它的工作过程类似于图11-1和图11-2的自正交码译码器，这里不再重复。,上面讨论的反馈大数逻辑译码的约束长度等于编码约束长度，为n0(m+1)。虽然也可用定译码的大数逻辑译码方法译码，但是对可正交码来说，在定译码约束长度(2m+1)n0个码元内，所得到的正交校验和式的数目，与反馈译码时得到的不一定相等。如以前列举的(2，1，5)可正交码，若用定译码时只能在n0(2m+1)=22个码元内构造两个正交校验和式，仅能在连续22个码元内纠正一个错误。,由此可见，对可正交码来说反馈译码比定译码要好得多。但是反馈译码可能会带来误差传播，必须仔细选择码的子生成元。已证明在BSC信道下，短约束长度可正交码的性能和相应BCH码的性能差不多，但译码实现上却比BCH码要简单得多。,图11-3(3，1，4)可正交系统卷积码译码器,11.2非系统卷积码的大数逻辑译码,对于非系统码来说，利用G矩阵行的线性变换可以转换成系统码，且有相同的最小汉明距离，但不能保证有相同的自由距离。所以，在一个译码约束长度内(通常等于编码约束长度(m+1)n0)利用大数逻辑方法译码时的纠错能力与系统码相同。这表明当选择好码的参数后，如果利用大数逻辑方法译码，则只要考虑系统码而不必考虑非系统码。,但是，对某些非系统码来说，可以通过增加译码约束度的方法，提高大数逻辑译码时的纠错能力4,5。例如(2，1，3)非系统卷积码，它的子生成元为：g(1,1)=(1111)g(1,1)(D)=1+D+D2+D3g(1,2)=(1011)g(1,2)(D)=1+D2+D3可知生成矩阵和校验矩阵分别是：G(D)=1+D+D2+D3，1+D2+D3H(D)=1+D2+D3，1+D+D2+D3,相应的初始截短码的校验矩阵为,错误图样E=(e01e02，e11e12，e21e22，e31e32)，由S=EHT得伴随式S=(s0，s1，s2，s3)，式中：s0=e01+e02s1=e02+e11+e12s2=e01+e02+e12+e21+e22s3=e01+e02+e11+e12+e22+e31+e32,由此4个伴随式分量可得到以下的正交校验和式：A0=s0=e01+e02A1=s0+s1=e01+e11+e12A2=s1+s3=e01+e22+e31+e32它们组成了对e01码元位正交的3个校验和式，而B0=s0=e01+e02B1=s1=e02+e11+e12B2=s0+s1+s3=e02+e22+e31+e32组成了对e02码元位正交的3个校验和式。,从上面两组正交方程可知，在连续(m+1)n0=8个码元内，该码能用反馈大数逻辑译码方法纠正一个错误，在某些特定的码元位上可纠两个或两个以上错误。该码的d=J+1=4，因此在编码约束长度(m+1)n0=8个连续码元内，上述纠错能力已达到了极限。如果延长由H矩阵所决定的约束长度，例如从8位增至12位，则由H中截取12段长可得初始截短码的校验矩阵为,错误图样E=(e01e02，e11e12，e21e22，e31e32，e41e42，e51e52)，由S=EHT12可得以下两组正交校验和式：A0=s0=e01+e02A1=s0+s1=e01+e11+e12A2=s1+s3=e01+e22+e31+e32A3=s1+s3+s5=e01+e21+e42+e51+e52B0=s0=e01+e02B1=s1=e02+e11+e12B2=s0+s1+s3=e02+e22+e31+e32B3=s0+s1+s3+s5=e02+e21+e42+e51+e52,由G(D)G-1(D)=DiIk，可求得译码多项式矩阵为,可以验证,G(D)G-1(D)=1+D+D2+D3，1+D2+D3=1+D+D2+D3+1+D2+D3=D,可知该码是一个似快检码。由此可组成如图11-4所示的译码器，这是一个反馈大数逻辑译码器。图中，最右边的一个模2加法器完成G-1(D)运算。,图11-4(2，1，3)非系统卷积码反馈大数逻辑译码器,11.3纠突发错误卷积码的基本概念,纠突发错误卷积码分为两类：B1型码和B2型码。这两类码的唯一区别在于B2型码的纠突发错误能力是以子码(码段)为单位考虑的(类似于分组码中的纠定段突发错误码)，而B1型码是以码元为单位，因此B2型码仅是B1型的特殊情况。从实用观点来看B1型码更为有用，但从分析与构造码的角度考虑，B2型码更为容易。但这两类码有密切的关系，B1型码可以很容易地当作B2型码来使用，反之亦然。,如果(n0，k0，m)码的纠B1型突发错误的能力为b1(以码元为单位)，则它的纠B2型突发错误(突发错误从一码段开始结束于另一码段)的能力为b2n0b1/n0(11.3.1)反之，若码有B2型纠突发能力b2=n0，则其B1型纠突发能力为b1(-1)n0+1(11.3.2),定义11.3.1连续两个突发错误之间的无误区间定义为保障区间。对不同型码，即使在同样的译码方法下也需要有不同的保障区间。若译码约束长度是n0(m+1)，则B1型码所要求的保障区间长度g1为n0(m+1)-1g1n0(m+1)(11.3.3)B1型码所要求的保障区间长度g2为g2n2m(11.3.4),除了B1型和B2型码之外，还有另一类纠突发错误卷积码，它们虽然不能纠正长度b的所有突发错误，但能纠正其中绝大部分错误，即能以很小的译码错误概率纠正长度b的突发错误，这类码被称为有误纠突发错误码。而B1型和B2型码能纠正长度b1和b2的全部突发错误，所以这两类码也称为无误纠突发错误码。今后除非特别声明，所讨论的纠突发错误卷积码均指后者。下面首先讨论纠突发错误卷积码，纠突发能力b(若无特别说明，b通常指b1)与H矩阵之间的关系。,定理11.3.1任何一个(n0，k0，m)卷积码，有纠突发能力为b的充要条件是：在校验矩阵H中，由任意相邻b列为一组的，互不相交的两组，它们列的任意线性组合不能为0，且其中一组至少有一列在H矩阵中的首n0列中选取。,该定理说明任何不相交的两个长度b的突发，且其中一个突发从第0码段开始，则它们共同组成的错误图样，与H矩阵相乘所得之伴随式不能为0。也就是说要求不同的突发错误图样，有不同的伴随式，只有如此才能保证译码器能正确区分两个不同的突发，否则译码器不能正确判决，引起译码错误，因而该定理的正确性是显而易见的。,定理11.3.2对任何一个R0的有限记忆(存贮)的二进制线性码，纠突发能力b，保障区间g和码率R之间，必须满足以下关系：,(11.3.5),该定理的证明可参阅有关文献4。对所有线性码，无论是分组码还是卷积码上式都必须满足。例如，对纠b长突发错误的n，k线性分组码来说，g=n-b，代入上式得,求得n-k2b,这与式(9.1.2)相同。,对于有误纠突发错误码，g、b与R之间必须满足,(11.3.6),能使式(11.3.5)或式(11.3.6)等号成立的码，称为最佳纠突发错误码，简称最佳码。,比较该两式可知，在同样的R、b下，有误纠突发错误卷积码要求的保障区间比无误纠突发错误卷积码要小得多。如R=0.5时，有误纠突发错误卷积码要求的gb，仅仅是无误纠突发错误卷积码所要求的三分之一。因此，在突发错误比较频繁的信道中，应用有误纠突发错误卷积码能取得更好的效果。,目前，寻找和构造最佳或接近最佳纠突发错误卷积码有以下一些方法：(1)应用交错技术，由约束长度短的最佳码得到约束长度长的最佳码；(2)利用分析方法构造纠正单个突发错误的最佳码，如岩垂码、BPM码1和扩散卷积码等。(3)确定突发位置然后予以纠正，这就是纠突发删除码，这类码就是有误纠突发错误卷积码，如加拉格尔(Gallager)码等1,4。,11.4交错码,交错码既可用来纠随机错误又可用来纠突发错误，因此特别适合于组合信道的纠错系统。用卷积码构造的交错码，在基本思想、构造方法以及性能分析上均与分组码的交错码相同。不同的是用卷积码交错时有两种交错方法：按码元交错和按子码(码段)交错。,卷积码的码段或码元交错，是把(n0，k0，m)卷积码的i个码序列C1，C2，Ci作为行码构成如下码阵：,传输时以列的次序，按以下方式传输：CB：c10c102ci0c11c21ci1c1mc2mcim,例11.3(3，2，8)系统卷积码的两个子生成元是：g(1,3)(D)=D3+D8，g(2,3)(D)=D+D7。它的B1型纠突发能力b1=n0=3，要求保障区间g1=(m+1)n0-1=26。按二度交错构成以下交错阵。设：C1：(100，000，000，001，000，000，000，000，001，)C2：(010，001，000，000，000，000，000，001，000，),若按码元交错，则得到(6，4，8)二度码元交错卷积码的一个码字为Cs：(100100，000001，000000，000010，000000，000010，)若按码段交错，则得到(3，2，17)二度码段交错卷积码的一个码字为CB：(100，010，000，001，000，000，001，000，001，000，)显然，该码的两个子生成元：g(1,3)(D)=D6+D16，g(2,3)(D)=D2+D14。,交错卷积码的译码方法与分组交错码完全一样，把接收到的码序列Cs或CB，仍排成与发端相同的码阵，然后按行码的译码规则逐行译码。由此可知，对码段交错卷积码来说，若行码能在约束长度(m+1)n0个码元内，纠正长度bn0的突发错误，则在交错码约束长度in0(m+1)个码元内，长度ib的任何突发错误，不论在i度交错码序列CB中何处开始，对每一行码的码字序列的影响不会超过b位相邻码元。,当按行码译码规则分别对每行译码时就能纠正这些错误。若行码能在约束长度内纠正t个随机错误，则在交错码的约束长度内，=t/n0个长度in0的突发也能得到纠正。如上例中用(3，2，8)码构造的二度码段交错卷积码，能在CB的in0(m+1)=54个连续码元中，纠正长度6的任何单个突发错误，要求的保障区间giB=i(m+1)n0-i=52(11.4.1),对码元交错卷积码来说，若行码能在约束长度(m+1)n0个相邻码元内纠正长度b(不必是n0的倍数)的突发错误，则i度码元交错码能在Cs码序列中的连续(m+1)n0i个码元内，纠正长度ib的任何单个突发错误。如上例中的(6，4，8)二度码元交错码，能在连续54个码元内纠正长度6的任何单个突发错误，要求的保障区间gisi(m+1)n0-153(11.4.2),同样，若行码能纠正t个随机错误，则交错码能纠正t个长度i的突发错误的任意组合。由此看出，码元交错卷积码可以更灵活地同时对付突发和随机错误。交错卷积码的编译码器，仅仅是把行码的编译码器中移存器的每一级重复i-1次即成，因而码元交错与码段交错的实现复杂度差不多。,*11.5岩垂(Iwadare)码,岩垂码是(n0，n0-1，m)B1型纠突发错误卷积码，它能用比较简单的方法译码，且n0较小时接近最佳码，因此是一类比较实用的纠突发错误卷积码。,岩垂码分为两类，除了n0=2和3之外，第一类比第二类码所需的保障区间要小，对大的n0和小的(1的整数)而言，实现编译码所需的移位寄存器的级数也比第二类要少。但是，对大的，且n0时，第二类比第一类码更为经济。这两类码在构造方法上没有本质不同，我们这里仅介绍第一类岩垂码。系统形式的(n0，n0-1，m)岩垂码，它的n0-1个子生成元为(11.5.1),i=1，2，n0-1,这里：a(i)=(+1)(n0-i)-1b(i)=(+1)(2n0-i)+i-3(11.5.2)1的整数。当i=1时，式(11.5.2)中的b(1)达到最大，此时b(1)=(+1)(2n0-1)-2=m(11.5.3)可知，该码的编码约束度m=b(1)。该码能纠正b1=n0长的B1型突发错误，所需的保障区间由式(11.3.3)知为g1=n0(m+1)-1=n0(+1)(2n0-1)-n0-1(11.5.4),设=1，n0=3，k0=2。由式(11.5.3)得m=8，得到一个(3，2，8)岩垂码，能纠正b1=n0=3个码元长的任何单个突发错误。由式(11.5.1)和式(11.5.2)可知，该码的两个子生成元是：g(1,3)(D)=D3+D8，g(2,3)(D)=D+D7。所需的保障区间，由式(11.5.4)可知为g1=26。由g(1,3)(D)和g(2,3)(D)不难能得到该(3，2，8)岩垂码的H矩阵是,012345678,(11.5.5),该矩阵的首n0(3)列组成了B0阵，显然，B0阵的前二列只有两个1，分别处在第3、第8行和第1、第7行，也就是由a(i)和b(i)决定的行，而第3列只有一个1，处在第0行。n0=3位长的B1型突发图样分3种情况，如下所示：E1=(e01e02e03，000)，E2=(0e02e03，e1100)，E3=(00e03，e11e120,0),相应的伴随式分别为：S1=E1HT=(e03e020e01000e02e01000)=(s10，s11，s12，s13，s14，s15，s16，s17，s18，)(11.5.6)S2=E2HT=(e03e0200e1100e020e1100)=(s20，s21，s22，s23，s24,s25，s26，s27，s28，s29，)(11.5.7),S3=E3HT=(e030e120e11000e12e1100)=(s30，s31，s32，s33，s34，s35，s36，s37，s38，s39，)(11.5.8)事实上，由式(10.3.3)，S(D)=E(D)H(D)T，也可以很快得到上面的伴随式，而不必求助H矩阵。,由式(11.5.6)式(11.5.8)看出，每一信息位eji(j=0，1，i=1，2)在S中均出现两次，且相隔d(i)位，称d(i)为再现间隔。由式(11.5.1)和H矩阵中B0阵的结构形式可知，d(i)是b(i)与a(i)之差，即d(i)=b(i)-a(i)-1=(+1)n0+(i-3)(11.5.9)在该例中d(1)=4，e01在S中相隔4位。d(2)=5，e02在S中相隔5位。利用这种eji在S中的不同的再现间隔，可以对(e01，e02)或(e02，e11)或(e12，e11)进行分段大数逻辑译码纠错。,由式(11.5.5)的H矩阵中虚线所示的矩阵内可得到：s2=s1=e12+e23s8=s7=e12+e51+e72+e83(11.5.10)组成了对第一码段第二个信息位e12的两个正交校验和式。用该式的大数判决结果对该码元进行纠错后，该子组在译码器中进入第0码段位置，由于第二个信息元已纠错，错误对该信息元的影响已消除，所以由H矩阵的第四行和第九行可得：s3=e01+e22+e33s8=e01+e51+e72+e83(11.5.11),该(3，2，8)岩垂码的译码器如图11-5所示。其译码过程大致如下：(1)把输入R(D)中每一段的前两个信息元送入编码器求得新的校验元，与后面输入的校验元进行比较，得到相应的伴随式分量，送入伴随式寄存器；(2)若与门A2输出1，说明第一码段的第二个信息元有误，对它进行纠正，同时修正伴随式以消去此错误的影响；,(3)若与门A1输出1，说明第0码段的第一个信息元发生了错误，对它进行纠错，并修正伴随式。可知用这种分段大数逻辑译码方法能纠正约束长度内任意的长度n0=3的突发错误。,图11-5(3，2，8)岩垂码译码器b1=3,仔细观察该译码器，我们可以发现与门A2两个输入端来自s2、s8，它们之间相隔6个伴随式分量，这就是e02在伴随式S中的再现间隔加一；同理可知，与门A1的两个输入端来自s3、s8，它们之间的间隔就是S中e01的再现间隔加一。所以可以根据再现间隔，直接得到译码器中大数门的组成，而不必求助于H矩阵。,当=1时，岩垂码的保障区间与纠突发能力之比为,(11.5.12),而对于R=(n0-1)/n0的最佳B1型码来说，由式(11.3.5)可知,(11.5.13),对于1的岩垂码来说，它的译码器与=1时的稍有不同，下面通过具体例子说明这一点。,例11.4=2，n0=3，k0=2，由式(11.5.3)知m=13，得到一个(3，2，13)岩垂码，能纠正b1n0=6位长的B1型突发错误。由式(11.5.1)得到两个子生成元分别是：g(1,3)(D)=D5+D13，g(2,3)(D)=D2+D11。所需保障区间g=n0(m+1)-1=41。,图11-6(3，2，13)岩垂码译码器b1=6,11.6扩散卷积码,一、自正交扩散卷积码先以R=12的(2，1，9)系统卷积码为例，说明码的纠错能力以及编码过程。该码的一个子生成元是g(1,2)(D)=1+D3+D7+D9相应的H矩阵是,错误图样E=(e01e02，e11e12，e91e92)伴随式S=EHT=(s0，s1，s2，s3，s4，s5，s6，s7，s8，s9),式中：s0=e01+e02s3=e01+e31+e32s7=e01+e41+e71+e72s9=e01+e21+e61+e91+e92,组成了4个对e01码元位正交的正交一致校验和式，能在译码约束长度(m+1)n0=20个码元内，用反馈大数逻辑译码方法纠正两个随机错误。,该码也能纠正长度为4个码元的突发错误。若突发在e01码元位上开始，则s0+s3+s7+s9之值3(只有s0可能取0，此时的值等于3)，所以可以纠正e01位上的错误。若突发在e01位以外的其它地方开始，则至多只影响4个正交校验和式中的2个，s0+s3+s7+s92，不会使译码器的大数判决门输出而引起错纠。所以，该码的纠突发能力和要求的保障区间分别是：b=4g=n0(m+1)-1=19,定义11.6.1一个自正交或可正交(n0，k0，m)系统卷积码(当然不限于系统码)，若能组成J=2t个对第0段的信息元e0i(i=1，2，k0)码元位正交的一致校验和式，且这个正交一致校验和式有如下特点：(1)长为l的突发错误从第0段开始，若e0i=1，则至少应使t+1个正交校验和取值为1；(2)突发错误如果不从第0段开始，e0i=0，则l长突发错误对J个正交校验和式的影响不能多于t个。则称此卷积码为l度扩散卷积码，它能纠正t个随机错误或纠正长为l的突发错误。这里的l称为扩散度或扩散系数。,上例中的(2，1，9)码，l=4，J=4，称此码是4度扩散卷积码。为了便于应用，表11-8中列出了自正交扩散卷积码的参数。表中的t表示纠随机错误的数目，表示扩散程度，它与扩散系数l的关系是l=n0，m是编码存贮，g(i,j)是子生成元，min表示所要构造的扩散码的正交化规则中所要求的最小值。,表11-8自正交扩散系统卷积码,如果要构造R=1/2，t=2的扩散卷积码，查表11-8中第二行，子生成元列中的数字是(0，+1，3+1，4+1)，min=2，所以子生成元是(0，3，7，9)。这4个数字不仅表示子生成元多项式中系数取1的次数是D0，D3，D7和D9，即子生成元为g(1,2)(D)=1+D3+D7+D9,二、可正交扩散卷积码除了用自正交码构造扩散卷积码外，也可利用可正交码构造扩散卷积码。如R=1/2的(2，1，7)可正交系统卷积码，它的子生成元为g(1,2)(D)=1+D2+D4+D7相应的校验矩阵为,错误图样为E=(e01e02，e11e12，e71e72),相应的4个正交一致校验和式是：s0=e01+e02s2=e01+e21+e22s4+s6=e01+e42+e61+e62s7=e01+e31+e51+e71+e72,不难验证，这4个正交一致校验和式满足定义11.6.1所提出的l=4度扩散卷积码的要求，能纠正长为l=4的突发错误或t=J/2=2个随机错误，所需的保障区间g2=15，比同类型自正交扩散卷积码的保障区间要小。一般，用可正交码构造的扩散码与用自正交码构造的扩散码相比，在同样码率和l、t下所需的保障区间要小，但在反馈大数逻辑译码时可能会引起误差传播。,表11-9R=1/2，n0=2的可正交扩散系统卷积码,*11.7加拉格尔(Gallager)码,Gallager码(以下简称Ga码)是一种自适应码，它能适应信道错误情况的变化以纠正随机错误或突发错误。但是这种码没有一般的编码理论，仅只是一种编码方法，可用自正交码或可正交码组合得到。,图117Ga码编码器,它的R=12码的编码器如图11-7所示。编码器由b+x+k(x是与译码器的检测错误性能有关的参数)级移存器组成，分两部分。左边k级组成了一个自正交码或可正交码编码器，此码能纠正t个随机错误并能发现大量的其它错误，且b+x+k级移存器中的信