普通高等学校招生全国统一考试数学理北京卷含解析

2015年，全国普通高等学校数学招生统一考试(北京卷，含分析)这篇试卷由5页150分钟组成。测试持续120分钟。考生必须回答答题卡上的答案，试卷上的答案无效。考试结束后，将试卷和答题卡一起交回。第一部分(选择题40分)多项选择题：这个主要问题有8个项目，每个项目有5分，每个项目有40分。在每个项目给出的四个选项中，只有一个项目它符合主题的要求。1.1。复数美国广播公司回答一分析测试分析：测试地点：复数运算2.如果满足，最大值为公元0B . 1C . 2回答 d分析试题分析：如图所示，首先画出可行区域。因为，然后，在可行区域内，作一条直线和作平行线以获得最优解。此时，直线的截距最大，最小值为2。测试地点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出结果是美国广播公司回答 b考试地点：程序框图4.假设有两个不同的平面，都是直线，并且.是 A.充分和不必要的条件C.充分和必要条件回答 b分析问题分析：因为，两个不同的平面是直线。如果为“”，则平面可能相交或平行，不能推出。另一方面，如果存在，则“”是“”的必要且不充分的条件。考试地点：1。空间直线与平面的位置关系；2.必要和充分条件。5.图中显示了三棱锥的三个视图，那么三棱锥的表面积是A.公元前5世纪回答 c分析测试分析：根据这三个视图，它被恢复成一个三角形金字塔，其中平面ABC，取AB边缘的中点d，连接CD和PD。是的，底部是等腰三角形底部的高边长，是2，AD=BD=1，PC=1，还有三角金字塔的表面积。考试地点：1。三种观点；2.三棱锥的表面积。6.将其设置为算术级数。以下结论是正确的A.如果，那么C.如果，那么d .如果，那么回答 c测试地点：1。算术级数一般项公式；2.差异比较法7.如图所示，如果函数的图像是折线，则不等式的解集为A.B.C.D.回答 c分析测试地点：1。功能图像；2.解决不平等。8.汽车的“燃油效率”是指每消耗一升汽油，汽车行驶的里程数。下图描述了三辆汽车在不同速度下的燃油效率。以下陈述是正确的A.消耗1升汽油，汽车b可以行驶5公里。以同样的速度行驶同样的距离。在这三辆汽车中，汽车a消耗的汽油最多。c汽车a以80公里/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油。D.城市中机动车的最高速度限制是80公里/小时，在同样的条件下，在城市中使用汽车c比使用汽车b更省油。回答分析试题分析：“燃油效率”是指一辆汽车消耗1升汽油的里程数。汽车b在a中消耗1升汽油，并且行驶的最大距离是汽车b图像最高点的纵坐标值，a是错误的；在B中，以相同的速度行驶相同的距离，A的燃油效率最高，因此A节省的燃油最多。在乙，这是错误的。在中国，汽车以每小时80公里的速度行驶1小时。每消耗1升汽油，汽车就行驶10公里、80公里和8升汽油。在C语言中，这是错误的。在D中，一个城市的最大速度限制为80公里/小时。由于C的燃油效率比B高，在相同条件下，在城市中使用C比使用B更省油，因此选择D。测试地点：1。函数的应用；2.对“燃料效率”新定义的理解；3.理解图像。第二卷(非多项选择题110分)二、填空(共6项，每项5分，共30分)9.在的展开式中，的系数是。(用数字回答)回答 40分析试题分析：利用通式，得到的系数为测试地点：二项式定理10.如果已知双曲线的渐近线是。回答测试地点：双曲线的几何性质11.在极坐标系统中，点到直线的距离是。回答 1分析试题分析：首先将点的极坐标转换成直角坐标，然后将直线的极坐标转换成直角坐标方程，并使用点到直线的距离公式。考试地点：1。极坐标和直角坐标的相互转换；2.点到直线的距离。12.在年中，有。回答 1分析测试分析：测试地点：正弦定理和余弦定理13.在中间，点，满足.如果，那么；回答分析试题分析：具体来说，我们不妨用坐标法建立一个以a为原点，ab为轴，AB为轴的直角坐标系，然后。测试地点：平面向量14.集合函数(1)如果，则最小值为；(2)如果正好有2个零，实数的取值范围是。回答 (1)1，(2)或。测试地点：1。功能图像；2.功能零点；3.分类讨论想法。三、回答问题(共6项，共80分。答案应写书面解释(计算步骤或证明过程)15.(本小题大做了13分)已知功能。最小正周期；(ii)找出区间中的最小值。(1)、(2)分析试题分析：首先利用乘幂公式和辅助角公式进行三角常量变形，并将函数转换成形式，然后利用周期公式计算周期。在第二步中，可以通过使用正弦函数图像来计算周期，以找出在该范围内的合适的、即时的和最小值：试题分析： (一)(1)最小正周期为；(2)当时，获得的最小值是：测试地点：1。三角函数的恒定变形；2.三角函数图像和性质。16.(本小题大做了13分)每组有7名病人。服用某些药物后的恢复时间(单位：天)记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有患者的恢复时间彼此独立，从两组中随机选择一人，从组中选择的人被指定为a，从组中选择的人被指定为b。(一)甲的恢复时间不少于14天的概率；(二)如果，寻求甲的恢复时间比乙长的可能性；(iii)当值是多少时，两组患者的恢复时间的差异是相等的？(结论不需要证明)(1)、(2)、(3)或17.(本小题大做了14分)如图所示，在四棱锥中，它是一个等边三角形，而平面、是的中点。核查：(ii)寻找二面角的余弦值；(iii)如属飞机，须取得的价值。回答 (1)见分析求证，(2)、(3)分析试题分析：为了证明直线是垂直的，可以发现直线和平面是垂直的；借助于性质定理证明平面EFCB，然后得到直线是垂直的；第二步，建立空间直角坐标系，并写出相关点的坐标；平面AEF的法向量容易获得；只需要平面AEB的法向量；设定平面AEB的法向量；设定AEB线的法向量；数字的乘积为零；法向量由列方程获得；然后根据二面角公式得到法向量的余弦值；第三步是因为，为了思考一个平面，人们只需要用向量的坐标和用量的乘积获得的值为零，并根据实际问题在它们之间进行选择。问题分析：(1)由于平面是等边三角形，并且是平面的中点，根据平面的垂直性质定理，也是平面的平面EFCB是。(ii)以CB的中点d，连接OD，以o为原点，分别建立轴的空间直角坐标系，由于平面垂直于轴，将平面的法向量设为，将平面的法向量设为，然后二面角的余弦，从二面角到钝二面角，所以二面角的余弦是。(iii)如果(1)平面EFCB是已知的，那么，如果平面，只有，和，可以被求解或者因为。测试地点：1。垂直线的证明；2.用法向量求二面角；3.用数量的乘积来解决垂直问题。18.(本项有13分)已知函数,当时，函数的上增函数是(0，1)，这符合问题的含义。当时，秩序，-0最低限度，显然不成立，总而言之，可以看出的最大值是2。测试地点：1。导数的几何意义；2.用导数研究函数的单调性并证明不等式；3.讨论涉及参与的问题。19.(本小题大做了14分)已知椭圆：的偏心率是点和点都在椭圆上，直线在该点与轴相交。(1)求出椭圆圆的方程，并求出点的坐标(用表示)；(ii)设定为原点，点和点关于轴对称，直线在该点与轴相交。问：轴上有一个点吗？如果是，找到点的坐标；如果不存在，解释原因。回答分析试题分析：椭圆的偏心率：是，点在椭圆上，求待定系数，用条件方程写出椭圆方程。从点和点出发，写出直线方程，从而得到X值，并写出直线与X轴交点的坐标。从点出发，写出直线方程，从而求出x值，写出点n的坐标，集合，求和，利用两者的等式，求和，则有一个点的原因。问题分析：(一)因为椭圆：交点和偏心率是，椭圆的方程是。直线的方程是：阶，测试地点：1。寻求椭圆方程；2.求直线方程和与坐标轴的交点；3.存在的问题。20.(本得了13分)已知序列满足：和。记得收藏。(一)如果，写出集合的所有元素；如果集合中有一个元素是3的倍数，则证明的所有元素都是3的倍数；找出集合中元素的最大数量。回答 (1)，(2)证据见分析，(3)8分析(1)试题分析：(1)从中，我们可以看到规律；(ii)由于集合中的一个元素是3的倍数，因此可以假定它是3的倍数。数学归纳法被用来证明任何元素都是3的倍数。那时，m中的所有元素都是3的倍数。如果，因为或，它是3的倍数，所以它是3的倍数。同样，它是3的倍数，所以对于任何元素，它都是3的倍数，所以所有元素都是3的倍数。对于第二个集合，有一个元素是3的倍数，因此可以假设它是3的倍数。众所周知，对于任何元素，它都是由数学归纳法证明的。在第三步中，由于中的元素数量不超过36，因此除了前两个数字之外，中的元素数量最多是4的倍数，因为第二个数字必须是偶数。根据的定义，第三个数字和后面的数字必须是4的倍数。根据定义，就像余数除以9一样，分数是3的倍数，而不是3的倍数。在研究了集合m中元素的数量之后，集合中元素的最大数量是8。问题分析：(一)从已知中已知：(二)由于集合中的元素是3的倍数，因此可以假定它是3的倍数。众所周知，数学归纳法可以证明，对于任何元素，它都是3的倍数。那时，M中的所有元素都是3的倍数。如果，