四年级奥林匹克数学基础资料库 第10讲 数字谜（二）

第十届数字谜题(二)例1用下式来补充缺少的数字分析和解：四位减去三位，差不到两位，也就是说被减数和减数的差不到100。 四位和三位的差不到100，三位必大于900，四位必小于1100。 因此我们发现解决本问题的突破口在百位。(一)填补百位和千位； 因为被减数是四位，减数是三位，差是二位，所以减数的百位是9，被减数的千位是1，百位是0，而十位是减数的情况下，必须从百位借出1。(2)填补座位。 因为被减数的位数是0，差的位数是1，所以减数的位数是9。(3)填补第十名。 第1位是从第10位借出1，第10位是从第100位借出1，因此，被减数十位的实际数值以18、18分解为2位的1位之和，因为只有9和9，所以减数和差的10位的数字都是9。求式子好像是右式子。从实例1可以看出，在考虑减法运算时，借位是重要的条件。例2在下面的各加法运算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，能够求出这两个式子分析和解： (1)这是四个数字相加的计算公式，其特征是同位数字相同，而且其位数与百位数字相同，即汉字“学”。相同位数相加后，和的位数为8，有2 2 2 2=8和7 7 7 7=28，即“学”=2或7两种情况。如果数学=2，则三个数字的总位数为8，数字的总位数为6。 此时，百位上的和为“学”“学”1=2 2 1=54。 所以“学”2。如果“数学”=7，则三个数字加上进位2，并且和的位数为8，则数字只表示数字2。 百位加上两个七，千位上升1，“我”可以表示数字3。满足条件的解如右式。 (2)千人至“努”=4。 千、百、十、位有“努”，5432-4444=988，可将纵型简化为左下型。 同样，可以从左下式简化为“力”=8，988-888=100，将左下式简化为下式，求出“学”=9、“学”=1。满足条件的公式如下。例2的两个问题形式类似，但问题的特征不同，解法也不同，请注意比较。例3在下面的纵型中，对每个汉字显示数字，对每个汉字显示不同的数字，求出被乘数。分析和解：因为第一名的“比赛”“比赛”的积不是“比赛”，而是另一个数，所以“比赛”的值只能取2、3、4、7、8、9。以下，用每一个实验的方法来解答。(1)“比赛”=2时，“数”=4，积=444444。 虽然被乘数是444422=22222222，但是由于被乘数的各位的数字各不相同，所以“比赛”2。(2)“比赛”=3时，像“数”=9、(1)这样讨论也不行。(3)“比赛”=4时，“数”=6，积=666666。 6666664得不到整数商，不符合问题的意思。(4)“比赛”=7时，“数”=9，积=999999。 被乘数为9999997=142857，符合题意。(5)“比赛”=8或9的话，模仿讨论，不符合问题的意思。因此，被乘数为142857。在例4中填写适当的数字，使左下式的乘法纵式成立。分析和解答：为了清楚起见，用a、b、c、d.(请参阅右上方程式)来表示需要填写的数字。被乘数大于500，因此E=1。 因为乘数的百位和被乘数的乘积的最终位是5，所以b、c中的一个必须是5。 C=5的话有65=(600 )5=3000 5不可能等于55，因此与问题不符，B=5。 从B=5估计G=0或5。 如果G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，与c无关，与695的乘积不能变为55，由于与问题不一致，因此G=0，F=A=4。 此时求出的被乘数为645，由于6457仅满足55，因此C=7； 最后发现B=5，G=0时d为偶数，实验中D=2。右式是求得的纵式。根据给出的数字、乘法以及加法的进位情况，这样的乘法纵型问题必须首先填写比较容易的未知数，然后依次填写该未知数。 某些未知数有可能取几个值，必须逐个实验决定取舍。在例5中填写适当的数字，使左下的除法纵型成立。分析和解：将左上式改写为右上式。 根据除法纵型的特征，因为B=0，D=G=1，E=F=H=9，所以除数为99的两位除数，可以取11、33和99的值，商的位数为5和5与除数的乘积为两位除数为11，并且A=C-9。 到目前为止，除数和商都要求，但其未知数都可以填补(参照右式)。这样的除法纵向型利用除法纵向型的特征，例如商的空位补0，馀数应该解决必须小于除数的空间间的相互关系等，只求除数和商就能解决问题。例6将左下方的除法公式的*编号替换为数字，使其成为完整的公式(各*表示的数字不一定相同)。分析和解：由以上的除法可知，商的十位数字“*”为0，即商为。因为除数和8的乘积是两位数，除数和商的千位数的乘积是三位数，知商的千位数是九位数，商是9807。“除数9”为3位，因此除数12且“除数8”为2位，因此除数12。 除法估计只有12个。 被除数为980712=117684。除法运算式如上页的右式。练习101 .在以下各纵型的中填写适当的数字，使纵型成立2 .在右边的加法运算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。