102世纪金榜 2013 高三复习 答案.ppt

第二节曲线与方程,三年1考高考指数:,1.曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x,y)=0叫做_，曲线C叫做_.,曲线C的方程,方程f(x,y)=0的曲线,【即时应用】(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定.因为若“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.,(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定.因为若“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.,(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_.【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线,2.求曲线方程的基本步骤,【即时应用】(1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足则点P的轨迹方程是_.(2)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_.(3)设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是_.,【解析】(1)由题意得=(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以=(-2-x,-y)(-3-x,-y),又因为=x2+1,所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,化简得：y2+5x+5=0.,(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点D又C(5,0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又ABC中的三点A、B、C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).,(3)由题意,设点P(1,a),Q(x,y),OPQ为等腰直角三角形,且OP为直角边,即(1,a)(x,y)=x+ay=0由,得:y2=1，x2=a2,aR,y2=1,即Q的轨迹为两条平行直线.,答案：(1)y2+5x+5=0(2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0)(3)两条平行直线,直接法求轨迹方程【方法点睛】1.直接法如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.,2.应用直接法时应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.,【例1】已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程.【解题指南】可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)即可得出方程.,【规范解答】设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P=M|MN|=|MQ|，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互动探究】本例中的条件不变，求动点M的轨迹.【解析】由例题解析可知：曲线的方程为：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0，因为0,所以当=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;当1时，方程化为：它表示圆心为半径为的圆.,【反思感悟】1.从题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程.【解析】因为点B与点A(-1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，-1)，设点P的坐标为(x,y)，由题意得化简得x2+3y2=4(x1)，故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).,【变式备选】已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.,【解析】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a4，c3，所以椭圆C的方程为,(2)设M(x，y)，其中x4,4.由已知及点P在椭圆C上可得整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4.时，化简得9y2=112.所以点M的轨迹方程为y(4x4)，轨迹是两条平行于x轴的线段.,时，方程变形为其中x4,4；当0时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足4x4的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4x4的部分.,定义法求轨迹方程【方法点睛】定义法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.,【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.,【例2】已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【解题指南】设动圆P的半径为r,由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.,【规范解答】设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支).由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为(x1).,【互动探究】在本例中：若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？,【解析】因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2内切，所以|C2P|=r-1；因此|C1P|-|C2P|=4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支.因为动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，又动圆P与圆C1内切，所以|C1P|=r-3，因此|C1P|-|C2P|=-4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支.,【反思感悟】1.本例是求轨迹方程，它的特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.,【变式训练】已知A(-,0)，B是圆F：(x-)2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程.,【解析】如图，连接PA.依题意可知|PA|=|PB|，|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,P点轨迹为以A(-,0),F(,0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为又故P点的轨迹方程为,【变式备选】如图所示，已知点C的坐标是(2，2)，过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.【解题指南】寻求动点M满足的几何条件，利用直接法或定义法；也可设出参数表示出点A、B的坐标，利用中点坐标公式得M的坐标再消参.,【解析】方法一(直接法)：设M(x，y)，依题意A点坐标为(2x,0),B点坐标为(0，2y).依题意知，O，A，C，B四点共圆，故|MA|=|MC|，化简得x+y-2=0.方法二(定义法)：依题意知，O，A，C，B四点共圆，故|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M的轨迹是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.,方法三(参数法)：设点M的坐标为(x,y).若直线CA与x轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1).若直线CA不与x轴垂直,设直线CA的斜率为k,则直线CB的斜率为故直线CA方程为y=k(x-2)+2,令y=0得则A点坐标为(2-,0)直线CB的方程为y=(x-2)+2,令x=0,得y=2+，,则B点坐标为(0,2+),由中点坐标公式得M点的坐标为消去参数k得到x+y-2=0(x1),又点M(1，1)在直线x+y-2=0上，综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.,相关点(代入)法求轨迹方程【方法点睛】相关点(代入)法动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x、y表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.,【提醒】用代入法求轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子，同时注意x、y的限制条件.,【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x,0)，P(0,y),可由已知条件得出x、y与x、y之间的关系，同时得到x、y满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.,【规范解答】设M(x,0),P(0,y)，N(x,y),由得(x-x,y)=2(-x,y),所以又因为=(x,-y)，=(1,-y),所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+=0，即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.,【反思感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x、y之间的关系式及x、y与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.,【变式训练】设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，求点M的轨迹方程.,【解析】设M(x,y)，A(x0,0),B(0,y0),由得则由|AB|=5，得化简得即所求点M的轨迹方程为,【变式备选】(2012黄冈模拟)已知圆C：(x+2)2+y2=24,定点A(2，0)，M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上(C为圆心)，且满足设点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点B(m,0)作倾斜角为的直线l交曲线E于H、G两