高二数学排列、组合和二项式定理小结复习人教

高二数学的排列、组合、二项式定理总结复习1 .本周教育内容：对齐、组合、二项式定理的总结复习二.重点、难点：要点：1 .数组、组合、二项式定理知识结构2 .分类计数原理、阶段计数原理的意义及它们的区别和联系意义及其差异和联系并列组合3 .二项式定理的内容和应用二项式展开式的通项式的应用。4 .解决问题排列和组合的基本方法难点：1 .如何解决两个原理显示的问题。2、分类计数原理、分级计数原理的差异和联系与组合的差异和联系是贯穿本章内容的难点。3 .克服排列和组合问题上的重复和疏漏是该部分内容的另一个难点。3 .复习和总结1 .知识结构知识体系的表现二.解决问题常用的几点思考(1)直接法：根据加法原理和乘法原理，将复杂事件直接分解为单纯排列组合问题的问题解决方法是直接法。(2)间接法：与限定条件无关，所有的排列数或组合数中必定包含2种情况。 一种是符合说明限制条件的种类，另一种是不符合说明限制条件的种类，通过从所有种类减去不符合说明限制条件的种类可获得符合说明限制条件的种类。 这种方法是数学中常用的间接法。 该方法经常用于难以求出符合问题制约条件的种类，或者情况多样容易出错，但容易求出不符合问题制约条件的种类的情况。(3)插值法：有主题限制的要素“不相邻”时，排列这个没有限制的要素，插入不能与其空间相邻的要素的方法称为插值法。(4)结束法：对于某个要素“相邻”的问题，将这些要素作为一个要素，排列成一个要素和其他要素，再次排列这些要素本身的方法称为结束法。三.分组问题分组问题明显是分组问题。 在组织问题上情况多样，大体上有时会对人不均匀，有时会对人不均匀，有时会对人不均匀，有时会对人不均匀。4 .二项式定理二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首尾两端的“等距离”的二项的系数相等。(2)二项式的幂指数为偶数时，中间项的二项式系数为最大的二项式的幂指数为奇数时，中间的二项式的系数相等为最大。(3)二项式系数之和为2n，即(4)奇数项二项式系数与偶数项的二项式系数之和，即二元展开式系数定律杨辉三角二元展开公式的系数可从下表中求出其中，这里的各数是1，除了1，每个数都等于“肩”的数之和。 n小时，写(a b)n展开式很方便。以上结果是我国宋代数学家杨辉最早发现的(1261年)，故称杨辉三角。关于通用项式问题的情况下，项式的适用很多，但必须注意是(a b)n展开式的r 1项(1 )n的近似计算在(1 )n的展开式中的绝对值小于1，n不太大时，2项、3项的绝对值小，在精度允许的范围内可以忽略，有近似计算式： (1) n1 n使用这个公式的时候必须注意问题对精度的要求。【典型例题】例如，1、3、5、7、9可取3个数字，0、2、4、6、8可取2个数字，构成多个不同的5位偶数。因为解法1零不能成为首位，是特殊的要素，所以可以根据是否选择零作为分类基准。解第一类：五位不含数字零。第二类：五位包含零数字步骤2 :排序顺序分为两类：满足条件偶数个为可以配置4560位偶数解法2 :间接解法分析从1，3，5，7，9中取3个数字，从0，2，4，6开始答：符合条件的五个偶数有4560人/某一组的6人排列在纪念照片上。 (1)分2列拍照，前列的2人，后列的4人，有多少种不同？ (2)分为两排照片、前排2人、后排4人，其中甲要排在前排，乙要排在后排，有多少种排列方法？(3)排成一排照片，甲和乙要排在一起。 有多少种不同的方法？ (4)排成一列拍照，其中甲应该在乙方的右边，有多少种不同的排列方法？ (5)排成一列照相的话，其中有3个男生，男生不能相邻有多少种方法？ (6)排成一列拍照，如果甲方没有站在最前头的乙方没有站在最后，有多少种不同的方法？分析(1)分成两列的照片与实际排成一列的照片相同，只把第36个座位看作第2列，实际上是6个元素的全排列问题。(2)决定甲的排列法，确定有P21种的乙的排列法，有P41种的最后决定别人的排列法的是P44种。 因为这是一个阶段性的问题，运用乘法原理，有P21P41P44种排列方法。(三)采用“捆扎法”。 也就是说，将甲和乙两人视为一人，有p5种不同的排列方法。 并且，在甲和乙两人之间再次排列，有p2种排列方法。 因为是阶段性的问题，所以应用乘法原理，有P55P22种排列方法。(4)甲在乙的右边，甲在乙的左边，各占一半，有p6种排列方法。(5)采用“插入法”，打开3个女孩的座位，在两端和她们之间放入4张椅子。 女孩子_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，再把三个男孩子放在这四个座位上，可以保证任何男人都不相邻。 男性有P43的方法，女性有p3的方法。 因为是阶段性的问题，所以应该使用乘法原理。(6)满足条件的排列法分为2种： 1种是乙站的前头，其馀5人任意有p5种排列法，一个是乙不在前头的甲不能站在前头，因此在前头从甲、乙以外的4人中选择1人有P41种排列法。 排尾有从乙以外的4人中选择1人的P41种排法，中间的4处无限制地有P44种排法，因为是阶段性的问题，所以适用了乘法原理，所以有P41P41P44种排法。解(1)P66=720 (种类) (2)P21P41P44=2424=192 (种类)(3)P55P22=1202=240 (种类) (4)P66=360 (种类)(5)P43P33=246=144 (种类) (6)p55p41p44=1204424=504 (种类)或法二：(淘汰法) p6-2p55p44=720-240=504 (种类)(1)说明“邻接”的问题，n个要素排成一列，其中m个要素相连(2)在“相间”问题上，若两种元素的个数相同(均为n个)，则排列总数为2Pn 1nPnn； 在两种要素的个数不同的情况下(1种n个、其他种类n 1个)，排列总数为Pn 1n 1Pnn(3)在“顺序”的特定问题中，n个要素排成一列，其中m个要素的顺序一定的等级数为Pnn/Pmm(4)在“不相邻”问题上，n个元素排成一列，其中m个元素排成两列和两列例3 (从1、2、3、12中加上任意4个个数，与奇数的合计有多少种(2)从9所中学选拔12名教师组成代表团，每所学校至少有1人参加，询问有哪些不同的选拔方法(3)由12人组成文艺娱乐组，其中5人只唱歌，5人只跳舞，2人只唱歌跳舞。 现在从这12个人中选出4个人唱歌的4个人跳舞的练习节目，有多少个选项呢解： (1)分为2种，有奇数为3，偶数为1，C63C61种选择。 1奇、3偶，不同的选法也有C61C63种。 求得的总数为2C61C63种。(2)每所学校确定1人，其馀3人名额仍须选拔。 分为三个类别。 3人均从同一所学校中选出，有C91种选择方法从2所学校中选出3人的是甲2乙1还是甲1乙2，不同的选择方法总数为2C92从3所不同的学校中分别选出1人，有C93的选择。求得的总数为C91 2C92 C93。(3)重要的是，可以唱歌也可以跳舞的2人被选中，被选中后，演什么样的节目(唱歌也可以跳舞)。 类别6:这两个人被选为唱歌的人，另外六个人是C52C54人两个人被选为舞蹈候选人，还有C52C54的选项两个人被选中，其中一个人唱歌一个人跳舞，共有2，53种选法两个人中只有一个人唱歌， 有C21C53C54的选择方法2人中只有1人跳舞，也有C21C53C54的选择方法都没有选择，所以有C54C54的选择。求出的总数为2c52c542c51c53c54c53c54=525。例4 .四面体的顶点和各棱的中点共计10点，其中取4个不同的面的点，不同的取法有多少种分析：直接法考虑：四面体为ABCD，底面BCD分为平面.考虑：类别：内正好有两个点，这两个点分为四面体相同的情况类：内有一个点。 该点是棱的中点，该点是棱的端点级别： 4个点均不在内，只有一种方法，根据加法原理，可以解： 68 27 30 9 6 1=141 (种类)如果取得的4点为共面，则分为以下2个类别类别： 4点不在四面体的同一面内。 4点位于相对的2个棱上，此时必定有3点位于某个棱上，另一个是对棱的中点，共计有6个方法的4点不位于相对的棱上，此时，4点必定是棱的中点，是平行四边形的顶点，有3个方法。答：不同的方法有141种例5 .现有张、王、李三位教师分别负责六个班级的课程，以下情况的不同分班方法有多少(1)张、王、李老师按顺序分为一班、两班、三班(2)各教师分为两班(3)六个班分为三组， 两组分别分为一个班，另一组分为四个班(4)三个教师，一个分一个班，一个分两个班，一个分三个班(5)三个教师，一个分四班，另外两个分一班。老师，我并不限定老师的班主任。 因为教师有各种各样的教学方法，所以有顺序问题，分组的顺序完成后再完成排序的顺序，有符合问题意义的不同法律种类例6.(3-2x)9使用展开式求出系数绝对值最大的项.其系数为将ak绝对值最大项设为k 1项时因此，k=3或k=4。 实际上，a4=-489888，a5=489888|a4|=|a5|=max|a1|，|a10|求系数最大项的方法是，首先写通项式，把最大项作为第k项，从左右两个系数以上求出两个不等式的不等式群，解开这个不等式求出k的值。例7. (1)多项式(3x4-x3-2x-3 ) 102 (3x-5 )4(7x3- 5x-1 ) 67展开式各系数和.(2)多项式x1000-x (-x3-2x2 2)1000展开式中的x的偶数次幂项系数和x的奇数次幂项系数是多少？利用多项式f(x )的系数和与f(1)相等的性质求解分析。解：设定f (x )=(3x4- x3-2x-3 ) 102 (3x-5 )4(7x3-5x-1 ) 67=a0a1x2x 2anxn (nn )其各系数之和为a0 a1 a2 anf(1)=a0 a2 an=(3-1-2-3) 102 (3-5)4(7-5-1) 67=3102161=163102每个系数的和是163102(2)设f (x )=x 1000-x (-x3-2x2) 1000=a0a1x2x 2anxnf(1)=a0 a1 a2 =1f(-1)=a0-a1 a2-a3 =3通常，多项式f(x )的各系数之和为f(1)，奇(偶)次项系数之和为f(1)-f(-1)/2(f(1) f(-1)/2 ) .(1)求出199911除以8后馀数，(2)求出0.9986的近似值，使误差小于0.001(1)解1999=2000-1=8250-11991911=(8250-1)11由上述展开式可知，199911除以8馀数为7 .(2)分析求出的0.9986的近似值一般为(1-0.002)6，用二项式定理展开解0.9986=(1-0.002)6=16 (-0.002 ) 15 (-0.002 ) 2(-0.002 ) 61 6(-0.002)=1-0.012=0.988说明展开式的第3项T3=15(-0.002)2=0.000060.001 .第3项以后的绝对值更小，因此可以从第3项中忽略。如果1. nN*，则等于(20-n)(21-n)(100-n )A. B. C. D2 .集合如果是从m到n的映射，则有令人满意的映射A.6个B.7个C.8个D.9个3.3张卡，表里分别写着6个不同的数字1、3、5和2、4、6，把这3张卡的数字排列成3位，可以构成全部不同的3位数字A.24 B.36 C.48 D.644. (1-x)2n-1展开中二项式系数最大的项为a .第n-1项b .第n项c .第n-1项和第n 1项d .第n项和第n 1项5 .有一种盖法，设有号码为1、2、3、4、5的5个茶杯和号码为1、2、3、4、5的5个茶杯，5个茶杯上盖5个茶杯，至少2个茶杯和茶杯的号码相同A.30种B.31种C.32种D.36种6 .从6个学生中选择4个分别从事a、b、c、d四个不同的工作，其中，a、b两个不能从事工作a时，共有不同的选择方案A.96种B.180种C.240种D.280种7 .书架上有七本不同的数学书籍和七本不同的外国文书，现在取两本数学书，一本外国文书借给三个同学，每人有一本，72种不同的借阅方法。 数学书籍和外国书籍的书数各不相同a.4，3 b.3，4 c.5，2 d.2，5在8 .的展