江苏数学二轮复习10数列Ⅱ

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数_列()回顾20082012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题.预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大：(1)填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质.(2)在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证.1在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.解析：S100(a1a100)45，a1a100，a1a99a1a100d.a1a3a5a99(a1a99)10.答案：102已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10_.解析：由已知得a4a2a212，a8a4a424，a10a8a230.答案：303设数列an的前n项和为Sn，令Tn，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a500的“理想数”为2 004，那么数列12，a1，a2，a500的“理想数”为_解析：根据理想数的意义有，2 004，2 012.答案：2 0124函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析：函数yx2(x0)在点(16,256)处的切线方程为y25632(x16)令y0得a28；同理函数yx2(x0)在点(8,64)处的切线方程为y6416(x8)，令y0得a34；依次同理求得a42，a51.所以a1a3a521.答案：215将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_解析：前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.答案：(1)已知正数数列an对任意p，qN*，都有apqapaq，若a24，则an_.(2)数列an为正项等比数列，若a21，且anan16an1(nN，n2)，则此数列的前n项和Sn_.解析(1)由apqapaq，a24，可得a2a4a12，所以ap1apa1，即a12，即数列an为等比数列，所以ana1qn122n12n.(2)设等比数列的公比为q，由anan16an1知，当n2时，a2a36a1.再由a21，得1q，化简得q2q60，解得q3或q2.q0，q2，a1，Sn2n1.答案(1)2n(2)2n1这两题分别是由“apqapaq”和“anan16an1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小题中首先要确定该数列的特征，而第(2)小题已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可已知an是等差数列，a1010，前10项和S1070，则其公差d_.解析：法一：因为S1070，所以70，即a1a1014.又a1010，所以a14，故9d1046，所以d.法二：由题意得解得答案：已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n，n1.(1)写出数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证数列为等比数列，并求出an的通项公式解(1)在Sn2an(1)n，n1中分别令n1,2,3得解得(2)由Sn2an(1)n，n1，得Sn12an1(1)n1，n2.两式相减得an2an(1)n2an1(1)n1，n2.即an2an12(1)n，n2.an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n，an(1)n2(an1(1)n1)(n2)，故数列是以a1为首项，2为公比的等比数列所以an(1)n2n1，即an2n1(1)n.1求数列通项公式的方法：(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：叠加法；叠乘法；转化法；(3)已知前n项和公式用an求解2数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snpan2n，nN*，其中常数p2.(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若a23，求数列an的通项公式；(3)对于(2)中数列an，若数列bn满足bnlog2(an1)(nN*)，在bk与bk1之间插入2k1(kN*)个2，得到一个新的数列cn，试问：是否存在正整数m，使得数列cn的前m项的和Tm2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由解：(1)证明：因为2Snpan2n，所以2Sn1pan12(n1)，所以2an1pan1pan2，所以an1an，所以an11(an1)因为2a1pa12，且p2，所以a10.所以a110.所以0.所以数列an1为等比数列(2)由(1)知an1n，所以ann1.又因为a23，所以213.所以p4，an2n1.(3)由(2)得bnlog22nn(nN*)，数列cn中，bk(含bk项)前的所有项的和是(123k)(2021222k2)22k2，当k10时，其和是5521021 0772 011，又因为2 0111 0779344672，是2的倍数，所以当m10(122228)467988时，Tm2 011，所以存在m988使得Tm2 011.将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b24，b510.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131.求Sn；记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围解(1)设数列bn的公差为d，则解得所以bn2n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数，且321342，所以a10b48.所以a13a10q38q3.又a131，解得q.因此cn2nn1.所以Snc1c2cn1cn，Sn.因此Sn44，解得Sn8.由知cn，不等式(n1)cn，可化为.设f(n)，计算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5)，因为f(n1)f(n)，所以当n3时，f(n1)f(n)因为集合M的元素的个数为3，所以的取值范围是(4,5本题第二小问中的参数取值范围问题，运用了函数的思想方法，进行参数分离转化为，再构造函数求出的取值范围，从而得到参数的取值范围，这里要注意n只能取正整数下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出cn的一个表达式，cn_；(2)若数列cn的前n项和为Mn，则M10_.(用数字作答)解析：由1,2,3,4,5，猜想ann；由2,4,8,16,32，猜想bn2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想cnn2n.从而M10(1210)(222210)2 101.答案：(1)n2n(2)2 1011数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解2数列求和问题，主要考查利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形3数列中an或Sn的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列an或Sn的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是n只能取正整数4数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决5数列中的参数取值范围问题在处理时，首选还是参数分离，分离后根据新数列的单调性确定最值或范围1已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值为_解析：由a7a916，得a88，由a4a122a8，得a1215.答案：152已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a20_.解析：由a10，an1(nN*)，得a2，a3，a40，由此可知：数列an是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20a2.答案：3已知a，b，ab成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0logm(ab)1，则m的取值范围是_解析：由题意得即解得由0logm88.答案：(8，)4等差数列an共有2n1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则n_.解析：由，得n10.答案：105设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_解析：由题意可知q1，可得2(1qn)(1qn1)(1qn2)，即q2q20，解得q2或q1(不合题意，舍去)，q2.答案：26所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第一行1第二行35第三行791113则第6行中的第3个数是_解析：由124816334得第六行第三个数为第34个正奇数，所以这个数是234167.答案：677设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析：记a2m，则1mqm1q2m2q3，要q取最小值，则m必定为1，于是有1q2,2q23，3q3，所以q.答案：8已知数列an满足a12，an1(nN*)，则数列an的前100项的和为_解析：由a12，an1(nN*)，得a23，a31，a42，则an是周期为3的数列，所以S100(231)332200.答案：2009已知数列an，bn满足a11，a22，b12，且任意的正整数i，j，k，l，当ijkl时，都有aibjakbl，则 (aibi)的值是_解析：由题意得a11，a22，a33，a44，a55；b12，b23，b34，b45，b56.归纳得ann，bnn1；设cnanbn，cnanbnnn12n1，则数列cn是首项为c13，公差为2的等差数列，所以 (aibi)2 012.答案：2 01210对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是_解析：ynxn1(n1)xn，曲线yxn(1x)在x2处的切线的斜率为kn2n1(n1)2n，切点为(2，2n)，所以切线方程为y2nk(x2)，令x0得an(n1)2n，令bn2n，数列的前n项和为222232n2n12.答案：2n1211已知数列an满足an0且对一切nN*，有aaaS，a1a2anSn.(1)求证：对一切nN*有aan12Sn；(2)求数列an通项公式解：(1)证明：aaaS，aaaaS.得SSa，即(Sn1Sn)(Sn1Sn)a，an1(2Snan1)a.an10，aan12Sn(nN*)(2)由aan12Sn及aan2Sn1(n2)两式相减，得(an1an)(an1an)an1an.an1an0，an1an1(n2)当n1,2时，易得a11，a22也适合an1an1，an是等差数列，且ann.1