2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新知：等腰三角形 1. 等腰三角形的定义：2. 等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴7.等腰三角形的判定：1. 在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2. 在同一三角形中，等角对等边8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形9.等边三角形的性质：等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60。等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)10.等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形（定义）三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形(5) 说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。(6) 等边三角形的性质与判定理解：11、三角形中的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：等腰三角形的性质应用及判定例1如图，ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。例题解析例一：AC、AB上的点，BD与CE交于点O.出下列三个条件：EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD.1.上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）2.选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形例2如图，ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：CDE为等腰三角形例3如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（ ） DC平分BDE BC长为()aBCD是等腰三角形 CED的周长等于BC的长A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例4如图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M,N分别在AB,AC上，则AMN的周长是 追加练习：1.如图所示ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN，求AMN的周长2.如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。例5已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.20 B.120 C.20或120 D.36例6等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为 等边三角形的性质应用及判定例7如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求DFC的度数。例8如图，分别以RtABC的直角边AC,BC为边，在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF例9如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：ACDDCB; CM=CN; AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 例10如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连三角形ACM和BCN，连接AN，BN，若MBN=38，则ANB的大小等于 。例11已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到DEF为等边三角形，求证：（1）AEFCDE;(2)ABC为等边三角形等腰直角三角形的性质应用及判定例12如图，在RtABC中，B=90，ACB=60，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD= 例13已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是 A平分线，求证：AC+CD=AB 例14两个全等的含30，60的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断EMC的形状，并说明理由练习题1.已知AB=AC，D是AB上一点，DEBC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明ADF是等腰三角形的理由2、如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EFBC，交AB于E，交AC于F，若AB=18，AC=16，求AEF的周长？3、 已知BO、CO分别是ABC和ACB的平分线，OEAB，OFAC，如果已知BC的长为a，你能知道OEF的周长吗？.4、如图，在ABC中，AB=AC，点D在BC上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F.求证：DE+DF=AB 5、已知:如图，BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。6、等边三角形ABC中，AD=CE,求BPC的度数。7. 若等腰三角形